Question

Решите уравнение cos(2пи×cos.x)=1​

Answer 1

$\cos(2\pi\cos x)=1$

Вспоминаем частный случай решения уравнения:

$\cos\alpha =1\Rightarrow \alpha =2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$

Получим:

$2\pi\cos x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Сокращаем обе части на $2\pi$:

$\cos x=k,\ k\in\mathbb{Z}$

Получаем, что косинус равен некоторому целому числу. Учитывая, что косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, можно понять, что число $k$ может принимать три значения:

$k_1=-1;\ k_2=0;\ k_3=1$

Решаем три получившихся уравнения:

$\cos x_1=-1\Rightarrow x_1=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\cos x_2=0\Rightarrow x_2=\dfrac{\pi}{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\cos x_3=1\Rightarrow x_3=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что три получившиеся серии корней можно объединить в одну:

$x=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$