Question

Найти прозводную (по возможности подробно расписать)
$\frac{1}{\sqrt{2x} }$

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

   f( x ) = 1/√( 2x ) = 1/√2  * x^(  - 1/2 ) ;

  f '( x ) = [ 1/√2  * x^(  - 1/2 ) ]'  = 1/√2 *(- 1/2 )* x^(- 3/2 ) = - 1/√( 8x³ ) ;

  f '( x ) = - 1/√( 8x³ ) .

Answer 2

Дано: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x} }$

Найти: $f'(x)$

Решение:

Воспользуемся формулой: $(\frac{U}{V})' = \frac{U'*V - U * V'}{V^{2} }$:

$f'(x)=(\frac{1}{\sqrt{2x} } )' = \frac{1' * \sqrt{2x} - 1 * (\sqrt{2x})' }{(\sqrt{2x}) ^{2} }$;

Производная любого числа равна нулю (1' = 0)

$\sqrt{2x}$ - это сложная функция. $f'(g(x)) = f'_{g} * g'_{x}$. Это значит, что мы должны разложить $\sqrt{2x}$ на две более простых функции: на 2x и $\sqrt{g}$, где g - это 2x.

$(\sqrt{2x})' = (2x)' * (\sqrt{g})' }$.

Производная x равна 1. Тогда:  (2x)' = 2

Производная корня: $(\sqrt{x})' =\frac{1}{2\sqrt{x} }$. Тогда: $(\sqrt{g})' =\frac{1}{2\sqrt{g} }$. Подставим всё обратно и заменим g на 2x:

$(\sqrt{2x})' = 2 * \frac{1}{2\sqrt{2x} } = \frac{2}{2\sqrt{2x} } = \frac{1}{\sqrt{2x} }$.

Теперь вернемся в самое начало и подставим получившиеся значения в $\frac{1' * \sqrt{2x} - 1 * (\sqrt{2x})' }{(\sqrt{2x}) ^{2} }$:

$f'(x) = \frac{0 * \sqrt{2x} - 1 * \frac{1}{\sqrt{2x} } }{(\sqrt{2x}) ^{2} } = \frac{0 - 1}{\sqrt{2x} * 2x } = -\frac{1}{2x \sqrt{2x} }$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x \sqrt{2x} }$