Question

Найдите многочлен Р, если разложение многочлена a^6 -25a^3 -54 на множители имеет вид (a^3+2)(a-3)×p​

Answer 1

Ответ:  Р = а² + 3а + 9.

Пошаговое объяснение:

Нужно знать:

1) формулу разности кубов а³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²);

2) формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

    ах² + bx + с = а(х - х₁)(х - х₂), где х₁ и х₂ - корни соответствующего

    квадратного уравнения.

Поэтому:

Разложим многоччлен а⁶ - 25а³ - 54 на множители.

Обозначим а³ = у, тогда а⁶ = (а³)² = у².

Данный многочлен примет вид: у² - 25у - 54.

Разложим его на множители, для чего найдем его корни:

у² - 25у - 54 = 0,

D = (-25)² - 4 · 1 · (-54) = 625 + 216 = 841; √841 = 29;

у₁ = (25 + 29)/(2 · 1) = 54/2 = 27,

у₂ = (25 - 29)/(2 · 1) = -4/2 = -2.

Значит, у² - 25у - 54 = (у - 27)(у + 2).

Теперь заменим у = а³ и получим:

а⁶ - 25а³ - 54 = (а³ - 27)(а³ + 2) = (а³ + 2)(а - 3)(а² + 3а + 9).

По условию а⁶ - 25а³ - 54 = (а³ + 2)(а - 3) · Р.

Значит, многочлен Р имеет вид: Р = а² + 3а + 9.