Question

4. Площадь боковой поверхности правильной четырёх-
угольной призмы равна 48 м², а площадь полной по-
верхности 57 м². Найдите диагональ боковой грани
призмы.

Answer 1

Ответ:

Диагональ боковой грани призмы равна $\dfrac{\sqrt{146} }{2}$ м.

Объяснение:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 48 м², а площадь полной поверхности равна 57м². Найти диагональ боковой грани.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

Надо определить диагональ $BC_{1}$ боковой грани призмы.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме боковой поверхности призмы и двух площадей оснований.

В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат.

Тогда найдем площадь квадрата

$S{_{ABCD}}=(57-48):2=9:2=\dfrac{9}{2}$  м².

Площадь квадрата определяется по формуле:

$S=a^{2} ,$ где а -сторона квадрата.

Тогда

$a^{2} =\dfrac{9}{2} ;\\\\a=\sqrt{\dfrac{9}{2} } =\dfrac{3}{\sqrt{2} } =\dfrac{3\sqrt{2} }{2}$  м.

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Найдем периметр квадрата по формуле

$P=4a,$ где а -сторона квадрата.

$P= 4\cdot \dfrac{3\sqrt{2} }{2} =2\cdot3\sqrt{2} =6\sqrt{2}$ м.

Тогда найдем высоту призмы

$48= 6\sqrt{2} \cdot H;\\\\H= \dfrac{48}{6\sqrt{2} } =\dfrac{8}{\sqrt{2} } =\dfrac{8\sqrt{2} }{2} =4\sqrt{2}$ м.

Рассмотрим Δ $BCC_{1}$ - прямоугольный .

$BC = \dfrac{3\sqrt{2} }{2}$   м,  $CC_{1} =H= 4\sqrt{2}$ м.

Применим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BC_{1} ^{2} =BC^{2} +CC_{1} ^{2} ;\\BC_{1}=\sqrt{BC^{2} +CC_{1} ^{2}} ;\\BC_{1}=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\right)^{2}+(4\sqrt{2})^{2} } =\sqrt{\dfrac{9\cdot2}{4}+16\cdot2 } =\sqrt{\dfrac{18}{4} +32} =\sqrt{\dfrac{18+32\cdot4}{4} } =\\\\=\sqrt{\dfrac{18+128}{4} } =\sqrt{\dfrac{146}{4} } =\dfrac{\sqrt{146} }{2}$

Тогда диагональ боковой грани призмы равна $\dfrac{\sqrt{146} }{2}$ м.

#SPJ1