Question

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30 градусов

Answer 1

Ответ:

6√3 см³   или   ≈ 10,4 см³

Пошаговое объяснение:

Дано:

Правильная треугольная пирамида

a = 6 см

α = 30°

--------------

V - ?

--------------

В основании пирамиды лежит правильный треугольник, о котором известно, что
его высота равна
$h = \dfrac{a\sqrt{3} }{2} =\dfrac{6\sqrt{3} }{2} = 3\sqrt{3} ~(cm)$

уго площадь равна

$S = \dfrac{a^2\sqrt{3} }{4} = \dfrac{6^2\cdot \sqrt{3} }{4} = 9\sqrt{3} ~(cm^2)$

радиус описанной окружности

$R = \dfrac{a\sqrt{3} }{3} =\dfrac{6\sqrt{3} }{3} =2\sqrt{3} ~(cm)$

Радиус окружности, писанной около основания правильной треугольной пирамиды, является проекцией бокового ребра на плоскость основания. По условию угол между боковым ребром и плоскостью основания (то есть вышеупомянутой проекцией) 30°, поэтому высота H пирамиды равна
$H = R\cdot tg~a = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3} } = 2~(cm)$

Объём пирамиды

$V = \dfrac{1}{3} S\cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3} ~(cm^3) \approx 10.4~cm^3.$