Question

Решить уравнение cos^2 x+4cos x=3sin^2 x-2

Answer 1

Ответ: ±arccos((-1 + √2)/2) + 2πn, n ∈ Z.

Пошаговое объяснение:

Нужно знать:

основное тригонометрическое тождество: cos²α + sin²α = 1,

откуда sin²α = 1 - cos²α.

cos²x + 4cosx = 3sin²x - 2,

cos²x + 4 cosx = 3(1 - cos²x) - 2,

cos²x + 4cosx = 3 - 3cos²x - 2,

cos²x + 4cosx + 3cos²x = 1,

4cos²x + 4cosx - 1 = 0,

t = cosx,

4t² + 4t - 1 = 0,

D = 4² - 4 · 4 · (-1) = 16 + 16 = 32; √32 = 4√2;

t₁ = (-4 + 4√2)/(2 · 4) = (-1 + √2)/2 ≈ (-1 + 1,4)/2 ≈ 0,2,

t₂ = (-4 - 4√2)/(2 · 4) = (-1 - √2)/2 ≈ (-1 - 1,4)/2 = -1,2.

cosx = (-1 - √2)/2 - нет решений, т.к. |cosx| ≤ 1;

cosx = (-1 + √2)/2,

x = ±arccos((-1 + √2)/2) + 2πn, n ∈ Z.