Question

АВCD квадрат. Точка М лежит на стороне СD. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Доказать что АМ = BK + DM

Answer 1

Ответ:

Пусть сторона квадрата _ а ( AB = BC = CD = AD = a)

поскольку АК биссектриса угла ВАМ ⇒ ∠ВАК = ∠КАМ

пусть ∠ВАК = х ⇒ ∠ВАК = ∠КАМ = х

Из прям. треугольника АВК

ВК = АВ · tan ·x

∠MAD = 90° - ( ∠ВАК + ∠КАМ ) = 90° - 2x

Из прям. треугольника AMD

$AM = \frac{AD}{cos < MAD} = \frac{a}{cos (90^{0} - 2x) }$

MD = AD · tan∠MAD = a · ( 90° - 2x )

$AM = \frac{a}{cos (90^{2}-2x) }$ = $\frac{a}{sin2x}$ = $\frac{a}{2sinx ^{.} cosx}$

$MD = a ^{.} tan (90^{0} -2x) = a ^{.} cot 2x = a ^{.} \frac{cos2x}{sin2x} = a^{.} \frac{cos^{2} x+ sin^{2}x }{2^{.} sinx^{.} cosx }$$BK +MD = a ^{.} \frac{sinx}{cosx} + a ^{. } \frac{cos^{2}x - sin^{2}x }{2^{.} sinx^{.}cosx }=\frac{2^{.}sin^{2}x +cos^{2}x - sin^{2} x }{{2^{.} sinx^{.}cosx }} = \frac{a(cos^{2}x+sin^{2}x) }{{2^{.} sinx^{.}cosx }} = \frac{a}{{2^{.} sinx^{.}cosx }}$

AM =  ${{2sinx^{.}cosx }}$

=>

AM = BK + DM = ${{2^{.} sinx^{.}cosx }}$