Question

100 баллов! срочно!
придумать 2 примера похожих на эти, с такими же степенями 6, 3, 4.
Чтобы можно было их решить.
$( \sqrt[6]{49 + 20 \sqrt{6} } + \sqrt[3]{5 + 2 \sqrt{6} } ) \sqrt[3]{5 - 2 \sqrt{6} }$
$\sqrt[3]{2 + \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5} }$
$\sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3} } - \sqrt{3}$
​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ (\sqrt[6]{49+20\sqrt6}+\sqrt[3]{5+2\sqrt6}\ )\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=\\\\\\= (\sqrt[6]{(5+2\sqrt6)^2}+\sqrt[3]{5+2\sqrt6}\ )\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=\\\\\\=(\sqrt[3]{5+2\sqrt6}+\sqrt[3]{5+2\sqrt6}\ )\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=\\\\\\=2\cdot \sqrt[3]{5+2\sqrt6}\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=2\cdot \sqrt[3]{(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)}=\\\\\\=2\cdot \sqrt[3]{5^2-(2\sqrt6)^2}=2\cdot \sqrt[3]{25-4\cdot 6}=2\cdot \sqrt[3]{1}=2$  

 Аналогичный пример:   $(\sqrt[6]{135+54\sqrt6}+\sqrt[3]{9+3\sqrt6}\, )\cdot \sqrt[3]{9-3\sqrt6}=6$ .    

$2)\ \ \sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}=A$  

Обозначим сумму буквой А и возведём её в третью степень ,

воспользовавшись формулой  $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab\, (a+b)$  .

$A^3=(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5})^3=\\\\=(2+\sqrt5)+(2-\sqrt5)+3\sqrt[3]{(2+\sqrt5)(2-\sqrt5)}\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5})=\\\\=4+3\sqrt[3]{4-5}\cdot A=4-3\cdot A\ \ \ \Rightarrow \ \ \ A^3+3A-4=0$  

Сразу понятно, что действительным корнем является число А=1 , так как  $1^3+3\cdot 1-4=1+3-4=0$  .

Можно это выражение разложить на множители:

$A^3+3A-4=(A-1)(A^2+A+4)$  ,  причём  квадратный трёхчлен $A^2+A+4$  имеет дискриминант  $D=1-16=-15 < 0$  . Значит действительных корней этот квадр. трёхчлен не имеет.

Следовательно и   $A^3+3A+4$  не имеет других действительных корней , кроме 1 .

Ответ:   $\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}=1$  .  

   Аналогичный пример:   $\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}=2$  .

$3)\ \ \sqrt[4]{28-16\sqrt3}-\sqrt3=\sqrt[4]{(4-2\sqrt3)^2}-\sqrt3=\sqrt{4-2\sqrt3}-\sqrt3=\\\\=\sqrt{(1-\sqrt3)^2}-\sqrt3=|\underbrace{\, 1-\sqrt3\, }_{ < 0}|-\sqrt3=(\sqrt3-1)-\sqrt3=-1$  

    Аналогичный пример:  

  $\sqrt[4]{56+24\sqrt5}-\sqrt5=\sqrt[4]{(6+2\sqrt5)^2} -\sqrt5=\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt5=\\\\=\sqrt{(1-\sqrt5)^2}-\sqrt5=|\underbrace{1-\sqrt5}_{ < 0}|-\sqrt5=\sqrt5-1-\sqrt5=-1$