Предмет: Алгебра, автор: Silvestr54

Помогите пожалуйста срочно !!!

Приложения:

Ответы

Автор ответа: KuOV
1

Ответ:

Промежутку \left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right] принадлежат 10 корней.

Объяснение:

Решить тригонометрическое уравнение:

tg\; 2x\cos 3x+\sin 3x=\sqrt{2}\sin 5x

Используем тригонометрические формулы:

tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\cos 3x+\sin 3x=\sqrt{2}\sin 5x

\dfrac{\sin 2x\cos 3x+\sin 3x\cos 2x}{\cos 2x}=\sqrt{2}\sin 5x

\dfrac{\sin 5x}{\cos 2x}=\sqrt{2}\sin 5x

Домножим обе части на cos 2x ≠ 0.

\sin 5x=\sqrt{2}\sin 5x\cos 2x

\sin 5x-\sqrt{2}\sin 5x\cos 2x=0

\sin 5x(1-\sqrt{2}\cos 2x)=0

\sin 5x=0   или   1-\sqrt{2}\cos 2x=0

1) \sin 5x=0

5x=\pi n,\; \: n\in Z

x=\dfrac{\pi n}{5} ,\; \: n\in Z

Промежутку \left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right] принадлежат следующие корни из этой группы корней:

-\dfrac{\pi }{5};\;  0;\;  \dfrac{\pi }{5};\; \dfrac{2\pi }{5};\; \dfrac{3\pi }{5};\;\dfrac{4\pi }{5};\; \pi

Всего 7 корней.

2)  1-\sqrt{2}\cos 2x=0

\cos 2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2x=\pm \dfrac{\pi }{4}+2\pi k,\; \: k\in Z

x=\pm \dfrac{\pi }{8}+\pi k,\; \: k\in Z

Промежутку \left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right] принадлежат следующие корни из этой группы корней:

\dfrac{\pi }{8};\; -\dfrac{\pi }{8};\; \dfrac{7\pi}{8}

Всего 3 корня.

Итак, промежутку \left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right] принадлежат 10 корней.

Похожие вопросы