Question

Пожалуйста помогите.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =(x^2-3x)/(x+1) на отрезке [0; 2].

Answer 1

Ответ:

Наименьшее значение функции - f(1) = -1
Наибольшее значение функции - f(0) = 0

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}$
Для нахождения точек экстремума нужно найти производную функции
$\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-3x)'*(x+1)-(x+1)'*(x^2-3x)}{(x+1)^2}=\\=\frac{(2x-3)(x+1)-1*(x^2-3x)}{(x+1)^2}= \frac{2x^2+2x-3x-3-x^2+3x}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}$
Найдём нули производной
Т. к. деление на ноль невозможно ⇒ мы ищем нули только у числителя
$\displaystyle x^2+2x-3=0$
$\displaystyle D=2^2-4*1*(-3)=4+12 = 16 = 4^2$
x₁₂ = (-2±4)/(2*1)
x₁ = (-2+4)/(2*1) = 2/2 = 1
x₂ = (-2-4)/(2*1) = -6/2 = -3

Очевидно, что в заданный промежуток входит только одна точка х = 1. Рассмотрим как функция ведёт себя на участках около неё.
$\displaystyle f'(0)=\frac{0^2+2*0-3}{(0+1)^2} = \frac{-3}{1} < 0$
$\displaystyle f'(2)=\frac{2^2+2*2-3}{(2+1)^2} = \frac{5}{3} > 0$
Мы видим, что производная функции из отрицательной становится положительной. Из этого следует, что точка х = 1 является точкой минимума. Для нахождения наибольшего значения нужно проверить оба конца отрезка

$\displaystyle f(1)=\frac{1^2-3*1}{1+1} = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} =-1$
$\displaystyle f(0)=\frac{0^2-3*0}{0+1} = \frac{0}{1} = 0$
$\displaystyle f(2)=\frac{2^2-3*2}{2+1} = \frac{4-6}{3} =- \frac{2}{3}$