Question

Из колоды в 52 карты по очереди наудачу извлекают две. Какова вероятность того, что первая бьёт вторую? (учитывается только ранг карты, то есть, любая восьмерка бьет любую семерку и т.д.)

Answer 1

Пусть первая карта, которую мы достали - это двойка. Так как в колоде 4 двойки, а всего карт 52, то сделать это можно с вероятностью:

$P(K_1=2)=\dfrac{4}{52}$

(вероятность того, что первая карта двойка равна 4/52)

Так как двойка самая младшая карта в колоде, то никакую карту она побить не сможет:

$P(K_2 < 2|K_1=2)=0$

(вероятность того, что вторая карта младше двойки при условии, что первая карта двойка, равна 0)

Пусть первая карта, которую мы достали - это тройка. Это могло произойти с вероятностью:

$P(K_1=3)=\dfrac{4}{52}$

Тройка может побить только двойку. Всего к этому моменту в колоде осталась 51 карта, из которых 4 - подходящие (двойки). Вероятность достать подходящую карту:

$P(K_2 < 3|K_1=3)=\dfrac{4}{51}$

Первую карту - четверку - мы можем достать с вероятностью:

$P(K_1=4)=\dfrac{4}{52}$

Четверка может побить двойку или тройку. Значит, в колоде есть 8 подходящих карт (4 двойки и 4 тройки). Вероятность достать подходящую карту:

$P(K_2 < 4|K_1=4)=\dfrac{8}{51}$

Рассуждая аналогично далее, мы понимаем, что достать первую карту любого конкретного достоинства можно с равной вероятностью 4/52, а вероятность достать при этом вторую карту, младше по достоинству, будет постепенно возрастать, поскольку количество подходящих карт возрастает по 4 на каждом шаге.

Так, для короля получим:

$P(K_1=K)=\dfrac{4}{52}$

$P(K_2 < K|K_1=K)=\dfrac{44}{51}$

А для туза получим:

$P(K_1=T)=\dfrac{4}{52}$

$P(K_2 < T|K_1=T)=\dfrac{48}{51}$

Итоговая вероятность того, что первая бьёт вторую равна сумме попарных произведений вида:

$p=\sum P(K_1=N)\cdot P(K_2 < N|K_1=N)$

$p=\dfrac{4}{52} \cdot0+\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{4}{51}+\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{8}{51}+\ldots+\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{44}{51}+\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{48}{51}=$

$=\dfrac{4}{52} \cdot\left(0+\dfrac{4}{51}+\dfrac{8}{51}+\ldots+\dfrac{44}{51}+\dfrac{48}{51}\right)=\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{0+4+8+\ldots+44+48}{51}=$

$=\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{\dfrac{0+48}{2}\cdot13}{51}=\dfrac{4}{52} \cdot\dfrac{24\cdot13}{51}=\dfrac{4\cdot24\cdot13}{52\cdot51}=\dfrac{24}{51}$

Ответ: 24/51