Question

Різниця основ прямокутної трапеції дорівнює 7см, а менша діагональ є бісектрисою гострого кута. Обчисліть площу трапеції, якщо її периметр 106см.

Answer 1

Ответ:

Площа трапеції дорівнює 684 см²

Объяснение:

Різниця основ прямокутної трапеції дорівнює 7см, а більша діагональ є бісектрисою гострого кута. Треба обчисліть площу трапеції, якщо її периметр 106см.

У трапеції ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD. AD - ВC = 7 см. Р(ABCD) = 106 см.

Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=h – висота прямокутної трапеції.

ВD - бісектриса ∠D за умовою ⇒ ∠АDВ=∠СDВ - за властивістю бісектрис.

∠ADB=∠DВС (як внутрішні різносторонні кути при перетині січною ВD паралельних прямих AD і BC);

⇒∠DВС=∠СDВ, тому трикутник BCD – рівнобедрений з основою ВD і СD=BC – бічні сторони ΔBCD.

Хай СD=BC = х см.

Опустимо  висоту CH на сторону AD, тобто CH⊥AD (∠CHD=90°).

Очевидно, що  CH=AB=h, так як АВСН - прямокутник (за ознакою), тому АН=ВС=х см.

За умовою AD - ВC = 7.

Так як  AD = АН+НD, то :

АН + НD - ВC = 7, х + НD - х = 7,

⇒НD=7 см; AD=(x+7) cм

У прямокутному трикутнику НCD за теоремою Пифагора знайдемо катет СН:

h = $CH=\sqrt{CD^{2}-HD^{2} } = \sqrt{x^{2} -7^{2} } =\sqrt{x^{2} -49 }$ см

Периметр трапеції - це сума всіх ії сторін:

AB+ВС+CD+ АD=106

$\sqrt{x^{2} -49 } +x+x+x+7=106\\\\\sqrt{x^{2} -49 }=99-3x$

$(\sqrt{x^{2} -49 } )^{2} =(99-3x)^{2}$

x² -49=9801-594x+9x²

-8x²-9850+594x=0

4x²-297x+4925=0

D=b²-4ac=297²-4*4*4925=88209-78800=9409=97²

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\dfrac{297+97}{2*4} =\dfrac{394}{8} =49,25$  

$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\dfrac{297-97}{2*4} =\dfrac{200}{8} =25$

Перевірка:

х₁ = 49,25

$\sqrt{49,25^{2} -49 } =99-3*49,25\\48,75=-48,75$

- рівність невірна, отже х₁ = 49,25 не є рішенням.

х₂=25

$\sqrt{25^{2} -49 } =99-3*25$

24=24

- рівність вірна, отже х₂ = 25 є рішенням рівняння.

Маємо:

СD=BC=х = 25 см,

AD=(x+7) = 25+7 = 32 см,

$CH=\sqrt{x^{2} -49 }=\sqrt{25^{2} -49 }=\sqrt{576} =24$  см

Обчислюємо площу трапеції:

$S_{ABCD}=\dfrac{BC+AD}{2} *CH=\dfrac{25+32}{2} *24=57*12=684$  cм²

#SPJ1