Question

1) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 15 см, а його діагональ утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

2) Основа прямого паралелепіпеда ромб зі стороною 4 см і кутом 60°. Знайдіть більшу діагональ паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 3 см.​

Answer 1

Ответ:

1) площадь полной поверхности параллелепипеда равна $(782\sqrt{3} +240)$ см².

2) большая диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{57}$ см.

Объяснение:

1) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 8 см и 15 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол в 60°. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Если параллелепипед прямоугольный, то в основании параллелепипеда прямоугольник ABCD .

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину прямоугольника.

Тогда площадь основания будет равна

$S =AB\cdot BC ;\\S= 15\cdot 8=120$ см².

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда.

Периметр прямоугольника определяется по формуле:

$P=2\cdot(a+b),$

где a- длина, b- ширина прямоугольника.

$P=2\cdot(15+8)=2\cdot23=46$ см.

Осталось найти высоту параллелепипеда.

Для этого рассмотрим Δ ABD - прямоугольный и найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

$BD^{2} =AB^{2} +AD^{2} ;\\BD =\sqrt{AB^{2} +AD^{2}};\\BD= \sqrt{15^{2} +8^{2} } =\sqrt{225+64} =\sqrt{289} =17$ см.

Рассмотрим Δ$BDD_{1}$ - прямоугольный .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

$tg60^{0} =\dfrac{DD_{1} }{BD} ;\\\\\sqrt{3}= \dfrac{DD_{1} }{17};\\\\DD_{1}=17\sqrt{3}$см.

Тогда площадь боковой поверхности параллелепипеда будет равна

$S =46\cdot 17\sqrt{3} =782\sqrt{3}$ см².

И площадь полной поверхности равна

$S =782\sqrt{3} +2\cdot 120=782\sqrt{3} +240$ см²

2) Основание прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 см и углом 60°. Найти большую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 3 см.

В основании параллелепипеда лежит ромб ABCD. Найдем диагонали ромба . Если угол ромба равен 60°, то Δ ABD - равносторонний и меньшая диагональ ромба равна стороне ромба, то есть BD= 4 см. Надо найти большую диагональ ромба.

Так как ромб - это параллелограмм, то воспользуемся свойством квадратов диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Тогда

$AC^{2} +BD^{2} =4\cdot AB^{2} ;\\AC^{2} +4^{2} =4\cdot 4^{2} ;\\AC^{2} +16=4\cdot16;\\AC^{2} =64-16;\\AC^{2} =48;\\AC =\sqrt{48} =\sqrt{16\cdot3} =4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим Δ$ACC_{1}$ - прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем большую диагональ параллелепипеда $AC_{1}$.

$AC_{1} ^{2} =AC^{2} +CC_{1} ^{2} ;\\AC_{1}=\sqrt{AC^{2} +CC_{1} ^{2} } ;\\AC_{1}=\sqrt{(\sqrt{48} )^{2} +3^{2} } =\sqrt{48+9} =\sqrt{57}$ cм.

#SPJ1