Question

Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось правильное доказательство

Answer 1

Решение:

Утверждение: дан треугольник АВС и точка D на прямой ВС вне отрезка ВС. Прямая AD является внешней биссектрисой угла А тогда и только тогда, когда АВ : АС = BD : CD.

Доказательство: Предположим, что AD является внешней биссектрисой угла А . Тогда точка D равноудалена от прямых АВ и АС. И таким образом, в треугольниках АВD и АCD есть равные высоты и, следовательно, их площади относятся как длины оснований, а именно как АВ : АС. С другой стороны у этих треугольников есть общая высота из вершины А. Поэтому их площади относятся как BD : CD. отсюда и следует требуемое равенство.

Проведём теперь рассуждение в обратную сторону. Пусть известно, что АВ : АС = BD : CD. Поскольку точки B, C и D лежат на одной прямой, то

$\dfrac{BD}{CD } =\bf{\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}}$

В силу заданного соотношения

$\bf{\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} }= \dfrac{AB}{AC }.$

То есть отношение площадей треугольников оказалось равным отношению длин их оснований. Это возможно , только если равны высоты, опущенные на соответствующие стороны, поэтому расстояние от точки D до прямых АВ и АС равны, и точка D принадлежит биссектрисе внешнего угла А треугольника АВС.