две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды правильные треугольники со стороной 6. найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды
Ответы
Высоты из точек А и В на ребро SC дают заданный двугранный угол ADB, равный по заданию 90 градусов.
AD = BD = 6*cos30° = 6*(√3/2) = 3√3.
Находим сторону АВ основания из прямоугольного равнобедренного треугольника.
AB = 3√3*√2 = 3√6.
Находим радиус r окружности, описанной около основания.
РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ЗНАЯ СТОРОНЫ, ДАН ВО ВЛОЖЕНИИ.
Подставим значения a = 6, b = 3√6.
AO = r = 36/(√((2*6)² - (3√6)²) = 36/√(144 – 54) = 36/√90 = 36√(3√10) = 12/√10 ≈ 3,794733.
Теперь можно определить высоту Н пирамиды.
Н = SO = √(6² - (12/√10)²) = √(36 - (144/10) = √(216/10) = √(108/5) ≈ 4,647580.
Далее используем свойство хорд и равенство ОТ = АО как радиусы.
АО*ОТ = АО² = (12/√10)² = 144/10 = 72/5.
ОК = АО²/SO (72/5)/√(108/5) = 72√5/(5√(108)).
Тогда искомый радиус R сферы, описанной около пирамиды, равен:
R = (SO + OK)/2 = √(108/5) + (72√5/(5√(108))/2 ≈ 3,872983.
