Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{ \boxed{ X = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -1& 3\end{pmatrix}} }$

Примечание:

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $( n - 1)$, полученного из данного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

Обратная матрица существует когда определитель исходной матрицы не равен нулю.

Обратная матрица:

$\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} } }$

Где:

$A^{*}$ - матрица из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы $A$.

Пошаговое объяснение:

28.

а)

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

Пусть $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ и $B =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

$A^{-1} \cdot| AX = B$

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$EX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

(при условии, что существует матрица обратная к матрице А)

Определитель матрицы А:

$\text{det} \ A = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 =-1 \neq 0$.

Так как $\text{det} \ A \neq 0$, то $\exists A^{-1}$.

Алгебраические дополнения матрицы $A:$

$A_{11} = (-1)^{1 +1} \cdot 1 = 1$

$A_{12} = (-1)^{1 +2} \cdot 0 = 0$

$A_{21} = (-1)^{2 +1} \cdot 1 = -1 \cdot 1 =-1$

$A_{22} = (-1)^{2 +2} \cdot (-1) =-1$

Союзная матрица $A^{*}:$

$A^{*} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Обратная матрица $A^{-1}:$

$A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

----------------------------------------------------------------------

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & -1 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \\ 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3\end{pmatrix}=$

$= \begin{pmatrix} -2 -1 & 0 +3 \\ 0 -1& 0 + 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -1& 3\end{pmatrix}$