Question

решить всё, что подчёркнуто галочкой

Answer 1

Ответ:
1.

$\displaystyle a ) ~~ \int\limits^2_1 {\frac{x^2}{x^3 + 2} } \, dx =\frac{1}{3}\cdot \ln \bigg (\frac{10}{3}\bigg )$

$\displaystyle b ) ~~ \int\limits^1_0 \Big ((x^2+1)^5\cdot x \Big) \, dx = 5,25$

2.  $S=10\dfrac{2}{3}$  (ед)²

Пошаговое объяснение:

1.  Вычислить :

$\displaystyle a ) ~~ \int\limits^2_1 {\frac{x^2}{x^3 + 2} } \, dx$

Заметим что

$x^2\cdot dx = \dfrac{d(x^3)}{3} =\dfrac{d(x^3+2)}{3}$

Выйдет табличный интеграл

$\displaystyle ~~ \int\limits {\frac{x^2}{x^3 + 2} } \, dx =\int\limits \dfrac{d(x^3+2)}{3(x^3+2)} = \frac{1}{3}\cdot \int\limits \frac{1}{(x^3+2)} \, d(x^3+2) = \frac{1}{3} \ln |x^3 +2| +C$

Находим определенный интеграл

$\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \int\limits^2_1 {\frac{x^2}{x^3 + 2} } \, dx = \frac{1}{3} \cdot \bigg ( \ln |x^3 +2| \bigg )\Bigg |^2_1 = \frac{1}{3} \bigg ( \ln 10 - \ln 3 \bigg ) =\frac{1}{3}\cdot \ln \bigg (\frac{10}{3}\bigg )$

$\displaystyle b ) ~~ \int\limits^1_0 \Big ((x^2+1)^5\cdot x \Big) \, dx$

Аналогично

$x\cdot dx = \dfrac{d(x^2)}{2} = \dfrac{d(x^2+1)}{2}$

Также выйдет табличный интеграл

$\displaystyle \int\limits \Big ((x^2+1)^5\cdot x \Big) \, dx = \frac{1}{2}\cdot \int\limits \Big ((x^2+1)^5 \Big ) d(x^2+1) =\frac{1}{2}\cdot \frac{(x^2+1)^{5+1}}{5+1} = \\\\\\ =\frac{(x^2+1)^6}{12} +C$

Находим определенный интеграл

$\displaystyle \int\limits^1_0 \Big ((x^2+1)^5\cdot x \Big) \, dx =\left (\frac{(x^2+1)^6}{12} \right) \Bigg |^1_0 = \frac{64}{12} -\frac{1}{12} = \frac{63}{12} = 5,25$

2.  Вычислить площадь  фигуры ограниченной линиями

$1) ~y = x^2 ~~ , ~~ 2)~ y = 3-2x$

Находим точки пересечений

$x^2 = 3 -2x \\\\ x^2 +2x -3 =0 \\\\ (x+3)(x-1) =0 \\\\ x_1 = 1 ~~ ; ~~ x= - 3$

Из промежутка  ( -3 ; 1 )  берем любое число , к примеру x = 0

И подставляем  в каждую функцию

1) y  = x²

   y = 0

2) y = 3 -2x

   y = 3

Видно что вторая   функция  в данном промежутке  больше первой ,  поэтому при нахождении площади  от второй   функции отнимем  первую

Находим площадь


$\displaystyle \int\limits^1_{-3} (3-2x -x^2) \, dx = \int\limits^1_{-3}( -x^2 -2x+3 ) \, dx = \bigg ( -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \bigg ) \Bigg |^{1}_{-3} = \\\\\\ = -\frac{1}{3} -1 +3 - (9 -9-9) = 11 -\frac{1}{3} = 10\frac{2}{3}$

#SPJ1