Question

Срочно , даю 100 баллов , решите и распишите

Answer 1

дивіться фото..........................

Answer 2

Ответ:

$f(x) = - {x}^{3} + 3 {x}^{2} + 9x$

Найдем производную.

$f'(x) = - 3 {x}^{2} + 6x + 9$

Найдем критические точки. Чтобы их найти производную надо приравнять к нулю.

$- 3 {x}^{2} + 6x + 9 = 0$

Разделим обе части на -3.

${x}^{2} - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна противоположному второму члену, а произведение корней равна третьему.

${\displaystyle{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - ( - 2) \\ x_{1} \times x_{2} = - 3 \end{cases}}}$

$x _{1} = - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{2} = 3$

Это критические точки.

Начертим числовую ось с точками -1 и 3 (как на рисунке).

Найдем промежутки возрастания и убывания.

Возьмем любую точку левее -1, то есть в промежутке (-∞;-1). Чтобы было удобнее, не будем далеко уходить, возьмем -2 и подставим это в аргумент производной.

$- 3 \times {( - 2)}^{2} + 6 \times ( - 2) + 9= - 3 \times 4 - 12 + 9 = - 12 - 12 + 9 = - 15$

Значение -15 отрицательное, поэтому в промежутке (-∞;-1) функция убывает. Отметим это на числовой оси.

Теперь возьмем число в промежутке (-1;3). Для удобства берем 0.

$- 3 \times {0}^{2} + 6 \times 0 + 9 = 9$

Значение 9 положительное, поэтому в промежутке (-1;3) функция возрастает. Отметим на числовой оси.

Возьмем число больше 3, (3;+∞), например, 4.

$- 3 \times {4}^{2} + 6 \times 4 + 9 = - 3 \times 16 + 24 + 9 = - 48 + 24 + 9 = - 15$

Значение -15 отрицательное, поэтому в этом промежутке функция убывает.

Теперь о точках экстремума. Если функция в точке с возрастания переходит на убывание, то эта точка называется точкой максимума. Если же функция в точке с убывания переходит на возрастание, то эта точка называется точкой минимума. Эти точки называются точками экстремума.

Получается наши критические точки -1 и 3 точки экстремума. До -1 функция убывала и после начала возрастать, поэтому точка -1 будет точкой минимума. До 3 функция возрастала и после начала убывать, следовательно, эта точка будет точкой максимума.

И в критических точках бывают и такие, когда до этой точка функция возрастает и после тоже возрастает или же до точки убывает и после тоже убывает. Такие точки называются стационарными и тоже являются критическими, но не являются точками экстремума.