Question

Добрый день, помогите пожалуйста.... Фото фотографию прикрепил ниже

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{x^2}{\sqrt{x^6+1} } } \, dx =\frac{ln(1+\sqrt{2} )}{3}$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^1_0 {\frac{x^2}{\sqrt{x^6+1} } } \, dx =$
Пусть x³ = t, тогда 3x²dx = dt ⇔ dx = dt/(3x²)
$\displaystyle =\int\limits^1_0 {\frac{1}{3}* \frac{1}{\sqrt{t^2+1} } } \, dt =\frac{1}{3} \int\limits^1_0 { \frac{1}{\sqrt{t^2+1} } } \, dt =\frac{1}{3}*ln|t+\sqrt{t^2+1} || ^1_0=$
Вернёмся к замене
$\displaystyle =\frac{1}{3}*ln|x^3+\sqrt{x^3+1} || ^1_0=\frac{1}{3}*(ln|1^3+\sqrt{1^3+1} |-ln|0^3+\sqrt{0^3+1} |)=$
$\displaystyle = \frac{1}{3}*(ln(1+\sqrt{2} )-ln(1))= \frac{ln(1+\sqrt{2} )}{3}$