Question

Дослідити на збіжність ряд із загальним членом

Answer 1

Ответ:

ряд сходится

Пошаговое объяснение:

Признак Даламбера

Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:  $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{n} =q$, то:

• - при q < 1 ряд сходится (в частности, ряд сходится при q=0);
• - при  q > 1 ряд расходится (в частности, ряд расходится при
•   q = ∞);
• - при  q = 1 признак не дает ответа.

Найдем   $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{n}$

Сначала найдем отношение

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{(n+1+1)!} :\frac{n}{(n+1)!} =\frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)!*n} = \frac{(n+1)^2*n!}{n!(n+1)(n+2)*n} =\\\\\\=\frac{n+1}{n(n+2)} =\frac{n+1}{n^2+2n}$

И теперь предел этого отношения

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2+2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \displaystyle \frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2} }{ \displaystyle\frac{n^2}{n^2} +\frac{2n}{2^2} } =\frac{0+0}{1+0} =0$

Вывод: q < 1, значит   ряд сходится

#SPJ1