Question

Обчислити наближено
(Вычислить приближенно)

Answer 1

Ответ:

1)   $\displaystyle \boldsymbol {(1.06)^{3,4}\approx 1,204}$

2)  $\displaystyle \boldsymbol {\sqrt{(8,006)^2+(6,06)^2} \approx 10,0408}$

Пошаговое объяснение:

1) Применим приближенные вычисления с помощью дифференциала функции.

Я здесь постараюсь подробно описать ход решения. В остальных случаях все делается аналогично.

Итак.

Нам надо вычислить   $\large \boldsymbol {}\displaystyle (1,06)^{3.4}$

Определим  $\large \boldsymbol {}\displaystyle f(x)=(x)^{3.4}$

Теперь 1,06 представим как (х₀ + Δх)

х₀ = 1

Δх = 0,06

Используем формулы

$\large \boldsymbol {}\displaystyle f(x_0+\triangle x) \approx f(x_0) + d\bigg[f(x_0)\bigg]\\\\\\d\bigg[f(x_0)\bigg]=f'(x_0) *\triangle x$

Теперь осталось только посчитать

$\displaystyle \it \underline {f(x_0) = f(1) = 1^{3,4}=1}$

$\displaystyle d\bigg[f(x_0)\bigg]=f'(x_0) *\triangle x\\\\\\f'(x) = 3,4*x^{2,4}\\\\\\f'(x_0) = f'(1) = 3,4*1^{2,4}=3,4\\\\\\\it \underline {d\bigg[f(x_0)\bigg]=3,4*0.06=0,204}$

И тогда

$\displaystyle f(x_0+\triangle x)\approx f(x_0) + d\bigg[f(x_0)\bigg]\\\\\\f(1+0,06) \approx 1+0.204\approx1.204$

2) все делаем аналогично пункту 1)

(8,006)²

f(x) = x²;   x = 8;   Δx = 0,006

f(x₀) = f(8) = 8² = 64

f'(x) = 2x;  f'(x₀) = f'(8) = 16

$\displaystyle d\bigg[f(x_0)\bigg]=f'(x_0)*\triangle x=16*0,006= 0,096\\f(x_0+\triangle x)\approx64+0.096 = 64,096\\\\\it \underline {(8,006)^2\approx 64,096}$

(6,06)²

f(x) = x²;      x = 6;     Δx = 0,06

f(x₀) = f(6) = 6² = 36

f'(x) = 2x;   f'(x₀) = f'(6) = 12

$\displaystyle d\bigg[f(x_0)\bigg]=f'(x_0)*\triangle x=12*0,06= 0,72\\f(x_0+\triangle x)\approx 36+0.72 = 36,72\\\\\it \underline {(6,06)^2\approx 36,72}$

Теперь у нас под корнем получается число

64,096 + 36,72 = 100,816

Надо найти     $\displaystyle \sqrt{ 100,816 }$

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x} ;\quad x_0=100; \quad \triangle x= 0,816\\\\f(x_0) = f(100) = 10\\\\f'(x) = \frac{1}{2x};\quad f'(x_0)=f'(100)=\frac{1}{2\sqrt{100} } =\frac{1}{20} =0,05$

$\displaystyle d\bigg[f(x_0)\bigg]=f'(x_0)*\triangle x=0,05*0,816= 0,0408\\f(x_0+\triangle x)\approx 10+0,0408 \approx 10,0408\\\\\it \sqrt{100,816} \approx 10,0408}$

#SPJ1