Question

Найдите промежутки возрастания функции и ее точки экстремума.

Answer 1

Ответ:

функция имеет две точки экстремума:

x₂ = -1  точка максимума функции;

x₁ = 1  точка минимума функции.

функция возрастает на промежутках (-∞ ;-1]  и  [1; +∞)

Объяснение:

y = 6x⁵ -10x³

1) точки экстремума.

Найдем критические точки.

y'(x₀) = 0 - это необходимое условие экстремума функции.

y'(x) = (6x⁵ -10x³)' = 30x⁴ -30x² = 30x²(x² -1)  

x₁ = 1

x₂ = -1

x₃ = 0

Однако, пока не понятно, есть в этих точках экcтремум и какой - минимум или максимум.

Используем достаточное условие экстремума функции.

Вторая производная

y''( 30x⁴ -30x²)' = 120x³-60x

Исследуем знак второй производной в критических точках

y''(0) = 0         = 0 - значит точка x₃ = 0 точка перегиба функции.

y''(-1) = -60      < 0 - значит точка x₂ = -1  точка максимума функции.

y''(1) = 60         > 0 - значит точка x₁ = 1  точка минимума функции.

Таким образом, функция имеет две точки экстремума:

x₂ = -1  точка максимума функции;

x₁ = 1  точка минимума функции.

2) промежутки возрастания.

Учитывая найденные в первом пункте критические точки, мы имеем 4 интервала для изучения.

(-∞ ;-1] [-1; 0] [0; 1]   [1; +∞)

Рассмотрим поведение первой производной на каждом интервале.

(-∞ ;-1]

y'(-2) = 360           > 0  - функция возрастает;

[-1; 0]

y'(-0,5) = -5,625  <  0  - функция убывает;

[0; 1]

y'(0,5) = -5,625  <  0  - функция убывает;

[1; +∞)

y'(2) = 360           > 0  - функция возрастает;

Таким образом, функция возрастает на промежутках (-∞ ;-1]  и  [1; +∞)

#SPJ1