Question

y"+4y'+4y=0, y(0)=7, y'(0)=8

Answer 1

$y''+4y'+4y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+4\lambda+4=0$

$(\lambda+2)^2=0$

$\lambda_1=\lambda_2=-2$

Записываем общее решение уравнения:

$y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$

Найдем производную:

$y'=C_1\cdot(-2e^{-2x})+C_2e^{-2x}+C_2x\cdot(-2e^{-2x})=(-2C_1+C_2)e^{-2x}-2C_2xe^{-2x}$

Рассмотрим начальные условия и составим систему:

$\begin{cases} C_1e^{-2\cdot0}+C_2\cdot0\cdot e^{-2\cdot0}=7\\ (-2C_1+C_2)e^{-2\cdot0}-2C_2\cdot0\cdot e^{-2\cdot0}=8\end{cases}$

$\begin{cases} C_1=7\\ -2C_1+C_2=8\end{cases}$

$-2\cdot7+C_2=8$

$C_2=8+14$

$C_2=22$

Таким образом, частное решение:

$\boxed{y=7e^{-2x}+22xe^{-2x}}$