Question

Найдите промежутки монотонности

Answer 1

Ответ:

a)  на промежутке [-2; 0]  функция возрастает;

    на промежутке   [0; 4]  функция убывает;

b) на промежутке  [-2; 4] функция имеет одну точку экстремума, точку локального максимума х = 0.

с)   $\displaystyle \large \boldsymbol{f_{max}(0) = 4}$

     $\displaystyle \large \boldsymbol{f_{min}(4) = -76}$

Пошаговое объяснение:

f(x) = x³ - 9x² + 4;   [-2; 4]

Для ответы на поставленные вопросы понадобится первая производная.

$\displaystyle \boxed{f'(x)=3x^2-18x}$

Еще понадобятся критические точки.

Для нахождения приравняем производную к нулю.

3x² -18x = 3x(x -6)

3x(x -6) = 0

x₁ = 0;    x₂ = 6   - это критические точки.

Теперь будем отвечать на вопросы

а) монотонность.

Рассмотрим знаки производной на промежутках, учитывая заданный нам промежуток  [-2; 4]

[-2; 0]     f'(-1] = 21  > 0,  на этом промежутке функция возрастает;

[0; 4]      f'(1] = -15  < 0,  на этом промежутке функция убывает;

b) точки экстремума

В окрестности точки x₁ = 0 производная функции меняет знак с "+" на "-". Следовательно, точка x₁ = 0 - точка максимума.

Точка x₂ = 6 не входит в указанный интервал, ее не рассматриваем.

Таким образом, на нитервале [-2; 4] функция имеет одну точку экстремума.

с) минимум и максимум функции

Находим значение функции в точке локального максимума и на концах отрезка

f(0) = 4

f(-2) = -40

f(4) = -76

Таким образом, на промежутке  [-2; 4]

максимум функции достигается в точке экстремума х₁ = 0

$\displaystyle \large \boldsymbol{f_{max}(0) = 4}$

минимум функции достигается на конце интервала х₂ = 4

$\displaystyle \large \boldsymbol{f_{min}(4) = -76}$

#SPJ