Question

1.Із точки до площини проведемо дві похилі до неї.Довжина однієї із них дорівнює 12√2 см,а довжина її проекції 8 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 60°,а довжина відрізка,що сполучає основи похилих, дорівнює 7 см. Знайдіть довжину другої похилої.
2.Перпендикуляр, опущений iз точки кола на його діаметр, дiлить його на два вiдрiзки, рiзниця яких дорівнює 21 см. Знайдіть радіус кола, якщо довжина даного перпендику ляра дорівнює 10 см

Answer 1

Ответ:

1. Длина другой наклонной равна √249 см или √233 см.

2. Радиус окружности равен 14,5 см.

Пошаговое объяснение:

1. Из точки к плоскости проведем две наклонные к ней. Длина одной из них равна 12√2 см, а длина ее проекции 8 см. Угол между проекциями наклонных равен 60°, а длина отрезка, соединяющего основания наклонных, равна 7 см. Найдите длину второй наклонной.

Дано: плоскость α.

АВ и АС - наклонные;

ВН и НС - проекции наклонных;

АВ = 12√2 см; ВН = 8 см; ВС = 7 см.

∠ВНС = 60°.

Найти: АС.

Решение:

1. Рассмотрим ΔВАН.

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

⇒ АН ⊥ ВН ⇒ ΔВАН - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем АН:

АН² = АВ² - НВ² = 288 - 64 = 224

АН = √224 (см)

2. Рассмотрим ΔВНС.

НВ = 8 см; ВС = 7 см; ∠ВНС = 60°.

• Теорема косинусов:
• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

⇒ ВС² = НВ² + НС² - 2 · НВ · НС · сos∠BHC

Пусть НС = х см.

Подставим значения:

$\displaystyle 49=64 + x^2-2\cdot8\cdot{x}\cdot{cos\;60^0}\\\\64-49+x^2-16x\cdot\frac{1}{2}=0\\ \\x^2-8x+15=0\\\\D=64-4\cdot15=4\\\\x_1=\frac{8+2}{2}=5;\;\;\;\;\;x_2=\frac{8-2}{2}=3$

⇒ НС может быть равно 5 см или 3 см.

3. Рассмотрим ΔСАН - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем АС:

АС² = АН² + НС²

Если НС = 5 см, то

АС² = 224 + 25 = 249

АС = √249 (см)

Если НС = 3 см, то

АС² = 224 + 9 = 233

АС = √233 (см)

Длина другой наклонной равна √249 см или √233 см.

2. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на его диаметр, делит его на два отрезка, разница которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Дано: Окр.О,R.

М ∈ Окр.О,R;

АВ - диаметр;

МН ⊥ АВ;

HB = AH + 21 см;

МН = 10 см;

Найти: R.

Решение:

Продлим МН до пересечения с окружностью и поставим точку К.

МК ⊥ АВ.

• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.

⇒ МН = НК = 10 см.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Пусть АН = х см, тогда НВ = (х + 21) см.

⇒ МН · НК = АН · НВ

10 · 10 = х · (х + 21)

х² + 21х - 100 = 0

$\displaystyle D = 441 + 4\cdot100=841\\\\\sqrt{D}=29\\ \\x_1=\frac{-21+29}{2}=4;\;\;\;\;\;x_2=\frac{-21-29}{2}=-25$

x₂ - не подходит по условию задачи.

⇒ АН = 4 см, НВ = 25 см.

Тогда диаметр АВ = 4 + 25 = 29 (см)

• Радиус равен половине диаметра.

⇒ R = AB : 2 = 14,5 (см)

Радиус окружности равен 14,5 см.

#SPJ1