СРОЧНО! ГЕОМЕТРИЯ!! ДАЮ 100 БАЛЛОВ
Две сферы радиусов 3 и 6 касаются внешним образом друг друга и плоскости. Если точки А и Б - точки касания этих сфер с плоскостью , то длина отрезка АБ равна?
Ответы
Ответ:
Длина отрезка АВ = 6√2 ед.
Объяснение:
Две сферы радиусов r=3 и R=6 касаются внешним образом друг друга и плоскости. Точка К - точка касания сфер друг с другом. Точки А и В - точки касания этих сфер с плоскостью β. Надо найти длину отрезка АВ.
Точки А и В принадлежат плоскости β, следовательно отрезок АВ ∈ β. АВ - общая касательная к сферам с центром в точке О и радиусом r=ОА=ОК=3 и с центром в точке О₁ и радиусом R=О₁В=О₁К=6.
Так как АВ - касательная, то r и R перпендикулярны АВ в точках касания: ОА⊥АВ, О₁В⊥АВ ⇒ ОА ║ О₁В. Проведём ОЕ ║ АВ.
ОАВЕ - параллелограмм (по определению). ЕВ=ОА=3 ед, АВ=ОЕ - по свойству параллелограмма.
Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Следовательно ОАВЕ - прямоугольник. ОЕ⊥ЕВ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО₁Е(∠Е=90°).
Гипотенуза ОО₁ = r+R = ОК+О₁К = 3+6 = 9 ед.
О₁Е = О₁В-ЕВ = 6-3 = 3 ед
По теореме Пифагора найдём катет ОЕ.
ОЕ²= ОО₁²-О₁Е = 9²-3² = 81-9 = 72
ОЕ = √72 = 6√2 ед
Значит отрезок АВ = ОЕ = 6√2 ед
#SPJ1
