помощью криволинейного интеграла второго рода найти работу силы F при перемещении материальной точки вдоль заданного пути L

Ответы
Ответ:
Объяснение:
Работа силы по перемещению материальной точки вдоль заданного пути
вычисляется по формуле
если путь задан параметрически причем началу пути, то есть точке A, соответствует
а концу пути, то есть точке B, соответствует
В нашем случае P(x,y)=y; Q(x,y)=2x; Поэтому работа равна
Интеграл легко вычисляется с помощью понижения степеней косинуса и синуса, но жаль тратить время.
Пойдем другим путем. Воспользуемся формулой Грина, которая является двумерным аналогом теоремы Стокса:
(здесь слева интеграл по замкнутому контуру, проходимый против часовой стрелки, область D ограничена контуром L, а частные производные в правой части формулы непрерывны на L и внутри L, то есть в области D).
У нас все условия очевидно выполнены, причем поэтому работа равна двойному интегралу по области, ограниченной астроидой, от единичной функции, иными словами, равна площади этой области. Если считать, что мы знаем эту площадь - она равна
- то задача выполнена, если же притворяться, что ее не знаешь, надо двойной интеграл вычислять.
Разделив область координатными осями на 4 одинаковые части, получаем: