Question

помощью криволинейного интеграла второго рода найти работу силы F  при перемещении материальной точки вдоль заданного пути L ​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3}{8}\pi$

Объяснение:

Работа силы $\bar F=\{P(x,y);Q(x,y)\}=P\bar i+Q\bar j$  по перемещению материальной точки вдоль заданного пути $\bar{AB}$ вычисляется по формуле  $\int\limits_{\breve{AB}}(\bar F;dr)=\int\limits_{\breve{AB}}P\, dx+Q\, dy=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))\, dt,$

если путь задан параметрически $\left \{ {{x=x(t)} \atop {y=y(t)}} \right.,$ причем началу пути, то есть точке A, соответствует $t=\alpha,$ а концу пути, то есть точке B, соответствует $t=\beta.$

В нашем случае P(x,y)=y; Q(x,y)=2x; $\left \{ {{x=\cos^3 t} \atop {y=\sin^3 t}} \right.;\ \alpha =0; \beta=2\pi.$ Поэтому работа равна

$\int\limits_{0}^{2\pi}(\sin^3t\cdot 3\cos^2t\cdot (-\sin t)+2\cos^3t\cdot3\sin^2 t\cdot \cos t)\, dt=$

$=3\int\limits_0^{2\pi}(2\cos^4 t\cdot\sin^2t-\cos^2t\cdot\sin^4 t)\, dt.$

Интеграл легко вычисляется с помощью понижения степеней косинуса и синуса, но жаль тратить время.

Пойдем другим путем. Воспользуемся формулой Грина, которая является двумерным аналогом теоремы Стокса:

                     $\oint\limits_{L}P\, dx+Q\, dy=\iint\limits_D (Q'_x-P'_y)\, dx\, dy$

(здесь слева интеграл по замкнутому контуру, проходимый против часовой стрелки, область D ограничена контуром L, а частные производные в правой части формулы непрерывны на L и внутри L, то есть в области D).

У нас все условия очевидно выполнены, причем $Q'_x-P'_y=2-1=1,$ поэтому работа равна двойному интегралу по области, ограниченной астроидой, от единичной функции, иными словами, равна площади этой области. Если считать, что мы знаем эту площадь - она равна $\dfrac{3}{8}\pi,$  - то задача выполнена, если же притворяться, что ее не знаешь, надо двойной интеграл вычислять.

Разделив область координатными осями на 4 одинаковые части, получаем:

$4\int\limits_0^1y(x)\, dx=4\int\limits_{\pi/2}^0\sin^3 t\, d\cos^3 t=-12\int\limits_{\pi/2}^0\sin^4t\cos^2t\, dt=$

$=3\int\limits_{0}^{\pi/2}(2\sin t\cdsot \cos t)^2\cdot \sin^2 t\, dt=3\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^22t\cdot\dfrac{1-\cos 2t}{2}\, dt=$

$=\dfrac{3}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^22t\, dt-\dfrac{3}{2}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^22t\cdot \cos 2t\, dt=$

$=\dfrac{3}{4}\int\limits_0^{\pi/2}(1-\cos 4t)\, dt-\dfrac{3}{4}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^22t\, d\sin 2t=$

$=\left. \dfrac{3}{4}(t-\frac{1}{4}\sin 4t)\right|_0^{\pi/2}-\left.\dfrac{1}{4}\sin^32t\right|_0^{\pi/2}=\dfrac{3}{8}\pi.$