Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{(1 + x)^{3}} } \, dx = 0,5}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{(1 + x)^{3}} } \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {\frac{x}{(1 + x)^{3}} } \, dx$.

$\displaystyle \int {\frac{x}{(1 + x)^{3}} } \, dx = \int {\frac{x + 1 - 1}{(x + 1)^{3}} } \, dx = \int { \bigg(\frac{x + 1}{(x + 1)^{3}} + \frac{- 1}{(x + 1)^{3}} \bigg) } \, dx =$

$\displaystyle = \int { \bigg(\frac{x + 1}{(x + 1)^{3}} - \frac{ 1}{(x + 1)^{3}} \bigg) } \, dx = \int {\frac{x + 1}{(x + 1)^{3}} } \, dx - \int { \frac{ 1}{(x + 1)^{3}} } \, dx =$

$\displaystyle = \int {\frac{1}{(x + 1)^{2}} } \, dx - \int { \frac{ 1}{(x + 1)^{3}} } \, dx =$

$\displaystyle = \int {(x + 1)^{-2}} \, d(x + 1) - \int { (x + 1)^{-3} } \, d(x + 1) =$

$\displaystyle = \frac{(x + 1)^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C_{1} - \frac{ (x + 1)^{-3+ 1}}{-3 + 1} + C_{2} = \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} - \frac{ (x + 1)^{-2}}{-2} + C =$

$\displaystyle = -\frac{(x + 1)^{-1}}{1} + \frac{ (x + 1)^{-2}}{2} + C = \frac{1}{2(x + 1)^{2}} - \frac{1}{x + 1} + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{(1 + x)^{3}} } \, dx = \bigg(\frac{1}{2(x + 1)^{2}} - \frac{1}{x + 1} \bigg) \Bigg |^{+\infty}_{0} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{1}{2(x + 1)^{2}} - \frac{1}{x + 1} \bigg) - \bigg(\frac{1}{2(0 + 1)^{2}} - \frac{1}{0 + 1} \bigg) =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2(x + 1)^{2}} - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} -\frac{1}{2 \cdot (1)^{2}} + \frac{1}{1} = 0 - 0 - \frac{1}{2} +1 = 1 - 0,5 = 0,5$