Question

Решить с использованием двойного интеграла

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ S = \dfrac{\pi}{2} - 1}}$ квадратных единиц

Примечание:

Переход к полярной системе координат для формулы вычисления площади в декартовой системе координат через двойной интеграл.

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} \, dxdy = \iint\limits_{D} r \, drd\phi = \int\limits^{\beta }_{\alpha } \, d\phi \int\limits^{r_{2}(\phi)}_{r_{1}(\phi)} {r} \, dr}}$

Пошаговое объяснение:

По теореме площадь ограниченной области $D$ плоскости:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle S = S(D) = \iint\limits_{D} \, dxdy} }$

Область $D:$

$x^{2} + y^{2} - 2y = 0;x^{2} + y^{2}=2y$

$x^{2} + y^{2} - 2x = 0;x^{2} + y^{2}=2x$

Формула перехода от декартовых к полярным координатам:

$\displaystyle \left \{ {{x = r \cos \phi} \atop {y = r \sin \phi}} \right$

Запишем функции ограничивающие область $D$ в полярных координатах:

$x^{2} + y^{2} = (r \cos \phi)^{2} + (r \sin \phi)^{2} = r^{2} \cos^{2} \phi + r^{2} \sin^{2} \phi = r^{2}(\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi)=r^{2}$

$r^{2} = 2r \sin \phi \Longrightarrow \boxed{ r = 2 \sin \phi}$ (розовая окружность)

$r^{2} = 2r \cos \phi \Longrightarrow \boxed{ r = 2 \cos \phi}$ (синяя окружность)

Найдем точки пересечения окружностей:

$2 \sin \phi = 2 \cos \phi \Longrightarrow \text{tg}\ \phi = 1 \Longrightarrow \phi = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb Z$

И так как $\phi \in [0; 2\pi]$, то $\phi = \dfrac{\pi}{4}$.

Также окружности имеют общую точку в начале координат при $r = 0$

Таким образом в декартовой системе координат прямая y = x разбивает область интегрирования на две области.

То есть нужно отдельно интегрировать по области которая заключена от розовой окружности до прямой y = x и в этом случае интегрирование в полярных координатах будет происходить от кривой r = 0 до кривой r = 2 sin φ и полярный угол будет меняться от 0 до 0,25π.

А потом отдельно интегрировать по области которая заключена от прямой y = x до синей окружности и в этом случае интегрирование в полярных координатах будет происходить от кривой r = 0 до кривой r = 2 cos φ и полярный угол будет меняться от 0,25π до 0,5π.

$\displaystyle S = \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \, d\phi \int\limits^{2 \sin \phi}_{0} {r} \, dr + \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \, d\phi \int\limits^{2 \cos \phi}_{0} {r} \, dr = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$квадратных единиц.

а)

$\displaystyle \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \, d\phi \int\limits^{2 \sin \phi}_{0} {r} \, dr = \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \Bigg( \bigg(\frac{r^{2}}{2} \bigg) \bigg |^{2 \sin \phi}_{0} \Bigg) \, d\phi = \frac{1}{2} \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \Bigg( \bigg(r^{2} \bigg) \bigg |^{2 \sin \phi}_{0} \Bigg) \, d\phi=$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \bigg( (2 \sin \phi)^{2} - 0^{2} \bigg) \, d\phi = \frac{1}{2} \int\limits^{0,25\pi }_{0 } 4 \sin^{2} \phi \, d\phi = \frac{2}{2} \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \frac{2(1 - \cos 2 \phi)}{2} \, d\phi =$

$\displaystyle = \int\limits^{0,25\pi }_{0 } (1 - \cos 2 \phi) \, d\phi = \int\limits^{0,25\pi }_{0 } 1 \, d\phi - \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \cos 2 \phi \, d\phi = \phi \bigg|^{0,25\pi }_{0 } - \frac{1}{2} \int\limits^{0,25\pi }_{0 } \cos 2 \phi \, d(2\phi) =$

$\displaystyle= (0,25 \pi - 0 ) - \Bigg(\frac{\sin 2\phi}{2} \bigg|^{0,25\pi }_{0 } \Bigg) =\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \bigg( \sin (2 \cdot 0,25) - \sin (2 \cdot 0) \bigg) =$

$\displaystyle = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \bigg(\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \bigg) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \bigg(1 - 0 \bigg) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

б)

$\displaystyle \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \, d\phi \int\limits^{2 \cos \phi}_{0} {r} \, dr = \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \Bigg( \bigg(\frac{r^{2}}{2} \bigg) \bigg |^{2 \cos \phi}_{0} \Bigg) \, d\phi = \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \Bigg( \bigg( r^{2} \bigg) \bigg |^{2 \cos \phi}_{0} \Bigg) \, d\phi =$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \bigg( (2 \cos \phi)^{2} - 0^{2} \bigg) \, d\phi = \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } 4 \cos^{2} \phi \, d\phi = \frac{2}{2} \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \frac{2(1 + \cos 2\phi)}{2} \, d\phi =$

$\displaystyle = \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } (1 + \cos 2 \phi) \, d\phi = \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } 1 \, d\phi + \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \cos 2 \phi \, d\phi = \phi \bigg|^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } + \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \cos 2 \phi \, d(2\phi) =$

$\displaystyle= (0,5\pi - 0,25 \pi) + \Bigg( \frac{\sin2\phi}{2} \bigg|^{ 0,5\pi }_{0,25\pi } \Bigg) = 0,25\pi + \frac{1}{2} \bigg( \sin (2 \cdot 0,5\pi) - \sin (2 \cdot 0,25 \pi) \bigg) =$$\displaystyle = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \bigg(\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2} \bigg) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \bigg(0 - 1 \bigg) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$