Question

Найди экстремумы функции б) y = (x-2)^2 e^x-3

Answer 1

Ответ:

$y{_{min}}=0$; $y{_{max}}=\dfrac{4}{e^{3} }$   - экстремумы функции

Пошаговое объяснение:

Найти экстремумы функции:

$y=(x-2)^{2} e^{x-3}$

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.

D(y) = (-∞; +∞)

Найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования производной

$(uv)'=u'v+uv',$

где u,v - дифференцируемые функции.

$y'=((x-2)^{2} e^{x-3})'=((x-2)^{2} )'\cdot e^{x-3}+(x-2)^{2} \cdot( e^{x-3})'=\\\\=2(x-2)\cdot e^{x-3}+(x-2)^{2}\cdot e^{x-3}=e^{x-3}(x-2)(2+x-2)=e^{x-3}\cdot x\cdot(x-2)$

Найдем критические точки, решив уравнение: $y'=0$

$e^{x-3}\cdot x\cdot(x-2)=0;\\x{_1}=0;\\x{_2}=2$

Критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

Определим знак производной на каждом промежутке ( во вложении)

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "+" на "-", то данная точка является точкой максимума .

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "-" на "+", то данная точка является точкой минимума.

Тогда

$x{_{min}}=2;\\x{_{max}}=0.$

Найдем экстремумы функции. Для этого найдем значение функции в точках экстремума .

$y{_{min}}= y(2)=(2-2)^{2} \cdot e^{2-3} =0\cdot e^{-1} =0$  

$y{_{max}}= y(0)=(0-2)^{2} \cdot e^{0-3} =4\cdot e^{-3} =\dfrac{4}{e^{3} }$

#SPJ1