Question

помогите решить неравенства
​

Answer 1

Ответ:

Б) х ∈ [0,5, 16].

В) х ∈ [-7, 2⟩.

Неравенство Б:

(log₀,₅х)² + 3log₀,₅x - 4 ≤ 0

Область допустимых значений — х > 0.

Заменяем log₀,₅x на t и упрощаем —

$\\ t^{2} + 3t - 4 \leq 0\\ \\ t^{2} +4t-t-4\leq 0\\ \\ t(t+4)-(t+4)\leq 0\\ \\ (t+4)(t-1)\leq 0$

Далее $\left \{ {{t+4\leq 0} \atop {t-1\geq 0}} \right. \\ \left \{ {{t+4\geq 0} \atop {t-1\leq 0}} \right.$,   $\left \{ {{t\leq -4} \atop {t\geq 1}} \right. \\ \left \{ {{t\geq -4} \atop {t\leq 1}} \right.$.

Находим пересечение — ∅, t ∈ [-4, 1].

Подставляем обратно — log₀,₅x ∈ [-4, 1].

Записываем интервал в виде неравенства —

${\displaystyle {\begin{cases}log_0,_5(x)\geq -4\\log_0,_5(x)\leq 1\\\end{cases}}}$

Решаем — ${\displaystyle {\begin{cases}x\leq 0,5^{-4} ,x\leq (\frac{1}{2})^{-4} ,x\leq 2^{4} \\x\geq 0,5^{1} \\\end{cases}}}$,  ${\displaystyle {\begin{cases}x\leq 16\\x\geq0,5\\\end{cases}}}$.

Находим пересечение — х ∈ [0,5, 16], х > 0.

Неравенство В:

$\sqrt{x+7} > x+1$

Область допустимых значений — х ≥ -7.

Разделяем неравенство на 2 возможных случая —

$\sqrt{x+7} > x+1, x+1\geq 0\\\\ \sqrt{x+7} > x + 1,x+1 < 0$.

Решаем неравенства —

х ∈ ⟨-3, 2⟩, х ≥ -1;  х ∈ ℝ, х < -1.

Находим пересечение —

х ∈ [-1, 2⟩;  х ∈ ⟨-∞, -1⟩.

Находим объединение —

х ∈ ⟨-∞, 2⟩,  х ≥ -7.

Находим пересечение — х ∈ [-7, 2⟩.