Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{a}{ a^{2} + b^{2}} } }$

Примечание:

Интегрирование по частям:

$\boxed{ \boldsymbol{ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du } }$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-ax} \cos bx} \, dx , \ a > 0$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx$.

$\displaystyle \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = e^{-ax} \Longrightarrow du = (e^{-ax})' \ dx = -ae^{-ax} \ dx$

$\displaystyle dv = \cos bx \ dx \Longrightarrow v = \int {\cos bx} \, dx = \frac{1}{b} \int {\cos bx} \, d(bx) = \frac{\sin bx}{b}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} - \int {\frac{-ae^{-ax}\sin bx}{b}} \, dx = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} + \frac{a}{b} \int { e^{-ax}\sin bx } \, dx=$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = e^{-ax} \Longrightarrow du = -ae^{-ax} \ dx$

$\displaystyle dv = \sin bx \ dx \Longrightarrow v = \int {\sin bx} \, dx = \frac{1}{b} \int {\sin bx} \, d(bx) = -\frac{\cos bx}{b}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} + \frac{a}{b} \Bigg( -\frac{e^{-ax}\cos bx}{b} - \int {-\frac{-ae^{-ax}\cos bx}{b}} \, dx \Bigg) =$

$\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} + \frac{a}{b} \Bigg( -\frac{e^{-ax}\cos bx}{b} -\frac{a}{b} \int {e^{-ax}\cos bx} \, dx \Bigg) =$

$\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} -\frac{ae^{-ax}\cos bx}{b^{2}} -\frac{a^{2}}{b^{2}} \int {e^{-ax}\cos bx} \, dx \ ;$

$\displaystyle \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} -\frac{ae^{-ax}\cos bx}{b^{2}} -\frac{a^{2}}{b^{2}} \int {e^{-ax}\cos bx} \, dx$

$\displaystyle \frac{b^{2} + a^{2}}{b^{2}} \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{be^{-ax}\sin bx}{b^{2}} -\frac{ae^{-ax}\cos bx}{b^{2}}$

$\displaystyle\int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{be^{-ax}\sin bx - ae^{-ax}\cos bx}{b^{2} + a^{2}} + C$

$\displaystyle\int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{b\sin bx - a\cos bx}{e^{ax}(b^{2} + a^{2})} + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{b\sin bx - a\cos bx}{e^{ax}(b^{2} + a^{2})} \Bigg|^{+\infty}_{0} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \Bigg(\frac{b\sin bx - a\cos bx}{e^{ax}(b^{2} + a^{2})} \Bigg) - \Bigg(\frac{b\sin (b \cdot 0) - a\cos (b \cdot 0)}{e^{a \cdot 0}(b^{2} + a^{2})} \Bigg) =$

$\displaystyle = 0 - \Bigg(\frac{b \cdot 0 - a\cdot 1}{(b^{2} + a^{2})} \Bigg) = \frac{a}{ a^{2} + b^{2}}$