Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

7.

$\boxed{ \boldsymbol{ z'_{x}= 3x^{2} + 6xy - 6y^{3}}}$

$\boxed{ \boldsymbol{z'_{y}= 3x^{2} - 18xy^{2} + 5y^{4}}}$

8.

$\boxed{ \boldsymbol{z'_{r} = 2r \cos \phi}}$

$\boxed{ \boldsymbol{z'_{\phi} = -r^{2} \sin \phi}}$

Примечание:

При взятии производной по какой-то переменной, то берем эту производную именно по данной переменной, а все остальные выражения считаем константами.

Пошаговое объяснение:

7.

$z = x^{3} + 3x^{2} y - 6xy^{3} + y^{5} - 7$

$z'_{x} =\dfrac{\partial z}{\partial x} = (x^{3} + 3x^{2} y - 6xy^{3} + y^{5} - 7)^{'}_{x} =$

$= (x^{3})^{'}_{x} + (3x^{2} y)^{'}_{x} - (6xy^{3})^{'}_{x} + (y^{5})^{'}_{x} - (7)^{'}_{x} =(x^{3})^{'}_{x} + 3y(x^{2} )^{'}_{x} - 6y^{3}(x)^{'}_{x} =$

$= 3x^{2} + 6xy - 6y^{3}$

$z'_{y} =\dfrac{\partial z}{\partial y} = (x^{3} + 3x^{2} y - 6xy^{3} + y^{5} - 7)^{'}_{y} =$

$= (x^{3})^{'}_{y} + (3x^{2} y)^{'}_{y} - (6xy^{3})^{'}_{y} + (y^{5})^{'}_{y} - (7)^{'}_{y} =3x^{2}( y)^{'}_{y} - 6x(y^{3})^{'}_{y} + (y^{5})^{'}_{y}=$

$= 3x^{2} - 18xy^{2} + 5y^{4}$

8.

$z = r^{2} \cos \phi$

$z'_{r} =\dfrac{\partial z}{\partial r} = (r^{2} \cos \phi)^{'}_{r} = \cos \phi(r^{2} )^{'}_{r} = 2r \cos \phi$

$z'_{\phi} =\dfrac{\partial z}{\partial \phi} = (r^{2} \cos \phi)^{'}_{\phi} = r^{2}( \cos \phi)^{'}_{\phi} = -r^{2} \sin \phi$