Question

Исследование и построение графика функции y(x)=x^2-2x-2/x-3

Answer 1

Ответ:

1. ОДЗ: х ∈ (-∞; 3)∪(3; +∞).

2. Функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. х = 0 ⇒ у = 0,7;

у = 0 ⇒ x₁ = 2,7;  x₂ = - 0,7.

4. x = 3 - вертикальная асимптота.

y = x + 1 - наклонная асимптота.

5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; 2], [4; +∞).

Функция убывает на промежутках: [2; 3), (3; 4].

х max = 2;     x min = 4.

6. Функция выпукла на промежутке (-∞; 3).

Функция вогнута на промежутке (3; +∞).

Объяснение:

Исследование и построение графика функции

$\displaystyle y(x)=\frac{x^2-2x-2}{x-3}$

1. ОДЗ: х ≠ 3

или х ∈ (-∞; 3)∪(3; +∞)

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^2-2\cdot(-x)-2}{-x-3} =\frac{x^2+2x-2}{-x-3}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями.

1) х = 0 ⇒ у = 2/3 ≈ 0,7

2) у = 0 ⇒ х² - 2х -2 = 0

х² - 2х + 1 - 3 = 0

(х - 1)² - (√3)² = 0

(x - 1 - √3)(x - 1 + √3) = 0

x₁ = 1 + √3 ≈ 2,7

x₂ = 1 - √3 ≈ - 0,7

4. Асимптоты.

1)

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2-2x-2}{x-3} =\infty$

⇒ x = 3 - вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота: y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-2}{(x-3)x}=\\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2} -\frac{2}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2} } =1$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2-2x-2}{x-3}-x\right)=\\ \\= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-2-x^2+3x}{x-3}=\\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x-3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x} }{\frac{x}{x}-\frac{3}{x} } =1$

⇒ y = x + 1 - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю, найдем корни.

Отметим их на числовой оси и определим знак производной на промежутках.

• Если "+", то функция возрастает, если "-" - убывает.

$\displaystyle y'=\frac{(2x-2)(x-3)-(x^2-2x-2)\cdot1}{(x-3)^2} =\\\\=\frac{2x^2-6x-2x+6-x^2+2x+2}{(x-3)^2}=\\ \\=\frac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}$

y' = 0

По теореме Виета:

х₁ = 2;     х₂ = 4

у(2) = 2;     у(4) = 6

Не забываем про х ≠ 3

$+++[2]---(3)---[4]+++$

Функция возрастает на промежутках: (-∞; 2], [4; +∞).

Функция убывает на промежутках: [2; 3), (3; 4].

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ х max = 2;     x min = 4.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни.

Отметим их на числовой оси.

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

$\displaystyle y''=\frac{(2x-6)(x-3)^2-(x^2-6x+8)\cdot2(x-3)}{(x-3)^4} =\\\\=\frac{(x-3)(2x^2-6x-6x+18-2x^2+12x-16)}{(x-3)^4} =\\\\=\frac{2}{(x-3)^3}$

Имеем одну точку х ≠ 3

$---(3)+++$

Функция выпукла на промежутке (-∞; 3).

Функция вогнута на промежутке (3; +∞).

Строим график.

#SPJ1