Question

помогите пожалуйста решить задачу
номер 19.5 ​

Answer 1

Ответ:

     $z=arcsin(xy)+\dfrac{y^2}{3x}$   ,    $x^2\cdot \dfrac{\partial z}{\partial z}-xy\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}+y^2=0$   .

Найдём частные производные 1 порядка функции  $z=f(x,y)$  .

$\displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2}}\cdot y+\frac{y^2}{3}\cdot \frac{-1}{x^2}=\frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2}}-\frac{y^2}{3x^2}\\\\\\\dfrac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2}}\cdot x+\frac{1}{3x}\cdot 2y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2}}+\frac{2y}{3x}$  

Составим выражение и упростим его:

$\displaystyle x^2\cdot \dfrac{\partial z}{\partial z}-xy\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}+y^2=\frac{x^2y}{\sqrt{1-x^2y^2}}-\frac{x^2\cdot y^2}{3x^2}-\frac{xy\cdot x}{\sqrt{1-x^2y^2}}-\frac{xy\cdot 2y}{3x}+y^2=\\\\\\=\frac{x^2y}{\sqrt{1-x^2y^2}}-\frac{y^2}{3}-\frac{x^2y}{\sqrt{1-x^2y^2}}-\frac{2y^2}{3}+y^2=-y^2+y^2=0$

Заданная функция удовлетворяет указанному уравнению .