Question

Подробно пожалуйста!!!!
номер 21.5 ​

Answer 1

Ответ:

$z=ln\dfrac{y}{x}\ ,\ \ M(1;1)\ ,\ \ \vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}$

Производная функции в направлении вектора а в точке М :

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \vec{a}}\Big|_{M}=\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{M}\cdot cos\alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{M}\cdot cos\beta$  

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\dfrac{y}{x}}\cdot y\cdot \Big(-\frac{1}{x^2}\Big)=-\frac{1}{x}\ \ ,\ \ \ \ \ \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{M}=-\frac{1}{1}=-1\\\\\\\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\dfrac{y}{x}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{y}\ \ ,\ \ \ \ \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{M}=\frac{1}{1}=1$

Найдём направляющие косинусы вектора а .

$\displaystyle \cos\alpha =\frac{a_{x}}{|\vec{a}|}=\frac{3}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\displaystyle cos\beta =\frac{a_{y}}{|\vec{a}|}=\frac{-1}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$  

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \vec{a}}\Big|_{M}=-1\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-1\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{4}{\sqrt{10}}$  

Градиент функции в точке М:  $\displaystyle \boldsymbol{grad\, z}\Big|_{M}=\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{M}\cdot \vec{i}+\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{M}\cdot \vec{j}$   .

$\boldsymbol{grad\, z}\Big|_{M}=-\vec{i}+\vec{j}$    

Этот вектор задаёт направление наибыстрейшего роста заданной функции в точке М .

Наибольшая скорость изменения заданной функции в точке М

равна    $\Big|\, \boldsymbol{grad\, z(M)}\, \Big|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$   .