Question

Решите пожалуйста данное задание

Answer 1

Объяснение:

$a)\ \int\frac{dx}{2x^2\sqrt{x} } =\int\frac{dx}{2*x^2*x^{\frac{1}{2}} }=\int\frac{dx}{2*x^{\frac{5}{2} }} =\frac{1}{2}*\int x^{-\frac{5}{2} } dx=-\frac{1*2}{2*3}x^{-\frac{3}{2} }+C=-\frac{1}{3\sqrt{x^3} }+C.\\ b)\ \int (\sqrt{(3x^4+2)^3}*x^3)dx} =\boxed{\left {{u=3x^4+2\ \ \ \ \ du=12x^3dx} \atop {\frac{du}{12}=x^3dx }} \right. } =\int \frac{u^\frac{3}{2} }{12} du=\\=\frac{2}{5*12} u^\frac{5}{2}= \frac{u^\frac{5}{2} }{30}=\frac{\sqrt{(3x^4+2)^5} }{30} +C.$

$c)\ \int (x*lnx)dx=\boxed{\left\begin{array}{ccc}\int fg'=fg-\int f'g\\f=lnx\ \ \ \ g'=x\\f'=\frac{1}{x}\ \ \ \ g=\int xdx=\frac{x^2}{2} \end{array}\right }=lnx*\frac{x^2}{2}-\int \frac{1*x^2}{x*2}dx =\\ =\frac{x^2*lnx}{2}-\int \frac{x}{2}dx=\frac{x^2*lnx}{2}-\frac{1}{2}*\int xdx=\frac{x^2*lnx}{2}-\frac{x^2}{4}+C.$

$d)\ \int \frac{xdx}{(x^2+1)*(x-1)} .$

       Применяем метод неопределённых коэффициентов:

$\frac{xdx}{(x^2+1)*(x-1)} =\frac{Ax+B}{x^2+1} +\frac{C}{x-1} =\frac{Ax^2+Bx-Ax-B+Cx^2+C}{(x^2+1)(x-1)} =\frac{x^2*(A+C)+x*(B-A)+C-B}{(x^2+1)*(x-1)}\ \ \ \ \ \Rightarrow$

      Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

$\left\{\begin{array}{ccc}x^0:\ C-B=0\\x^1:\ B-A=1\\x^2:\ C+A=0\end{array}\right\ \ \ \ \ \left\{\begin{array}{ccc}A=-\frac{1}{2} \\B=\frac{1}{2} \\C=\frac{1}{2} \end{array}\right ..$

$\\\frac{x}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} }{x^2+1}+\frac{\frac{1}{2} }{x-1} =\frac{1}{2}*\frac{1}{x-1} -\frac{1}{2}*\frac{x-1}{x^2+1} .\ \ \ \ \ \Rightarrow$

$\int \frac{xdx}{(x^2+1)(x-1)} =\int (\frac{1}{2}*\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}*\frac{x-1}{x^2+1})dx=\frac{1}{2}*\int \frac{dx}{x-1} -\frac{1}{2}*\int\frac{x-1}{x^2+1} dx.$

$\int \frac{dx}{x-1}=ln|x-1|+C.\\ \int\frac{x-1}{x^2+1}dx=\int \frac{\frac{1}{2} *2x-1}{x^2+1}=\frac{1}{2}*\int\frac{2x}{x^2+1}dx-\int \frac{dx}{x^2+1} =\frac{1}{2}*\int \frac{2x}{x^2+1}dx-arctg(x).\\ \frac{1}{2}* \int \frac{2x}{x^2+1}dx=\boxed{\left {{u=x^2+1} \atop {du=2xdx}} \right. } =\frac{1}{2}* \int \frac{du}{u} =\frac{ln|u|}{2}=\frac{ln|x^2+1|}{2} +C=\frac{ln(x^2+1)}{2}+C.$

$\int \frac{xdx}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{1}{2} *ln|x-1| -\frac{1}{2}* (\frac{ln(x^2+1)}{2} -arctg(x))+C=\\ =\frac{ln|x-1|}{2} +\frac{arctg(x)}{2} -\frac{ln(x^2+1)}{4} +C.$