Question

доказать неравенство
$\frac{1}{x^{2} +x+1}$<$\frac{4}{3}$

Answer 1

Ответ:

Решим неравенство.

$\dfrac{1}{x^2+x+1} < \dfrac{4}{3}\\\\\\\star \ x^2+x+1=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=1-4=-3 < 0\ \ \Rightarrow$  

Квадратный трёхчлен принимает только положительные значения   $x^2+x+1 > 0$  и не может равняться 0 . Поэтому ОДЗ:  $x\in (-\infty ;+\infty )$   .

Умножим неравенство на заведомо положительное выражение  $(x^2+x+1)$  . Знак неравенства не поменяется, останется прежним .

$3 < 4\cdot (x^2+x+1)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 4x^2+4x+1 > 0\ \ ,\\\\(2x+1)^2 > 0\ \ \Rightarrow \ \ \ 2x+1\ne 0\ \ .\ \ \ 2x\ne -1\ ,\ \ x\ne -\dfrac{1}{2}$  

( P.S. Так как  $(2x+1)^2\geq 0$  для всех значений  х , то cтрогое

неравенство    $(2x+1)^2 > 0$  выполняется при   $(2x+1)^2\ne 0\ \ \Rightarrow$  

$2x+1\ne 0$  )  

Решением неравенства будут все значения переменной  х из ОДЗ , кроме одного, равного -1/2 , то есть  

$\boldsymbol{x\in (-\infty ;-0,5)\cup (-0,5\ ;+\infty \, )}$   .  

Ответ:  Значит заданное неравенство  $\boldsymbol{\dfrac{1}{x^2+x+1} < \dfrac{4}{3}}$  верно при  значениях переменной х , принадлежащих объединению интервалов  

$\boldsymbol{x\in (-\infty ;-0,5)\cup (-0,5\ ;+\infty \, )}$  .