Question

Решите уравнение: cos⁴13x-sin⁴13x=cos24x​

Answer 1

$\cos^413x-\sin^413x=\cos24x$

В левой части применяем формулу разности квадратов:

$(\cos^213x-\sin^213x)(\cos^213x+\sin^213x)=\cos24x$

Вторая скобка представляет собой основной тригонометрическое тождество:

$(\cos^213x-\sin^213x)\cdot1=\cos24x$

$\cos^213x-\sin^213x=\cos24x$

В левой части применяем формулу косинуса двойного угла:

$\cos26x=\cos24x$

$\cos26x-\cos24x=0$

В левой части применяем формулу разности косинусов:

$-2\sin\dfrac{26x+24x}{2}\sin\dfrac{26x-24x}{2}=0$

$-2\sin25x\sin x=0$

$\sin25x\sin x=0$

Уравнение распадается на два:

$\sin25x=0\Rightarrow 25x=\pi n\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi n}{25},\ n\in\mathbb{Z}$

$\sin x=0\Rightarrow x_2=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Можем заметить, что вторая серия корней уже содержится в первой, поэтому в ответ достаточно выписать первую черию корней.

Ответ: $\dfrac{\pi n}{25},\ n\in\mathbb{Z}$