Question

20 баллов срочно пожалуйста

Answer 1

Ответ:

a) $-\dfrac{5\pi }{6} +2\pi k < x < \dfrac{5\pi }{6} +2\pi k, ~k\in\mathbb {Z}$

б) $-\dfrac{4\pi }{3} +4\pi k\leq x \leq \dfrac{4\pi }{3} +4\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

в) $-\dfrac{\pi }{3} +2\pi k < x < \dfrac{2\pi }{3}+ 2\pi k,~k\in\mathbb {Z};$

Пошаговое объяснение:

а) Решить неравенство

$sin\left( \dfrac{3\pi }{2} -x\right) < \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Применим формулы приведения и получим :

$-cosx < \dfrac{\sqrt{3} }{2} |\cdot(-1) \\\\cosx > -\dfrac{\sqrt{3} }{2}\\-\dfrac{5\pi }{6} +2\pi k < x < \dfrac{5\pi }{6} +2\pi k, ~k\in\mathbb {Z}$

б) Решить неравенство

$cos^{2} \dfrac{x}{4} -sin^{2} \dfrac{x}{4} \geq -0,5$

Применим формулу косинуса двойного угла

$cos2x=cos^{2} x-sin^{2} x$

и получим

$cos \dfrac{x}{2} \geq -0,5$

Пусть $\dfrac{x}{2} =t$

$cost\geq -0,5;\\\\-\dfrac{2\pi }{3} +2\pi k\leq t\leq \dfrac{2\pi }{3} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

Тогда

$-\dfrac{2\pi }{3} +2\pi k\leq \dfrac{x}{2} \leq \dfrac{2\pi }{3} +2\pi k|\cdot 2,~k\in\mathbb {Z};\\\\-\dfrac{4\pi }{3} +4\pi k\leq x \leq \dfrac{4\pi }{3} +4\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

в) Решить неравенство

$sinx +\sqrt{3} cosx > 0|:2;\\\\\dfrac{1}{2} sinx+\dfrac{\sqrt{3} }{2} cosx > 0;$

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла

$sinx \cdot cos \dfrac{\pi }{3} +sin \dfrac{\pi }{3}\cdot cosx > 0;\\\\sin\left(x+ \dfrac{\pi }{3}\right ) > 0$

Пусть

$x+\dfrac{\pi }{3} =t$

$2\pi k < t < \pi +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\2\pi k < x+\dfrac{\pi }{3} < \pi +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\-\dfrac{\pi }{3} +2\pi k < x < \dfrac{2\pi }{3}+ 2\pi k,~k\in\mathbb {Z};$

         #SPJ1