Question

Дано точки A(2;-1;√2), C(1;-2;0), B(1;-3:0), D(2;-2;0). Знайти кут мiж векторами BA i DC.​

Answer 1

Ответ:

$arccos\left (-\dfrac{1}{\sqrt{7} }\right )$

Объяснение:

По условию заданы точки

$A(2;-1;\sqrt{2} );\\C(1;-2;0);\\B(1;-3;0);\\D(2;-2;0)$

Найти угол между векторами $\vec {BA}$   и  $\vec{DC}$.

Найдем координаты данных векторов.

Чтобы найти координаты вектора, надо от координат конца вектора отнять соответствующую координату начала вектора.

$\vec {BA}(1;2;\sqrt{2} )$

$\vec{DC}(-1;0;0)$

Длина вектора- это длина отрезка, изображающего вектор и в координатах длину вектора можно найти как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

$|\vec {BA}|=\sqrt{1^{2} +2^{2} +(\sqrt{2})^{2} } =\sqrt{1+4+2} =\sqrt{7}$

$|\vec{DC}|=\sqrt{(-1)^{2} +0^{2} +0^{2} }= \sqrt{1} =1$

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.

Найдем скалярное произведение данных векторов

$\vec{BA}\cdot \vec{DC}= 1\cdot(-1)+2\cdot 0+\sqrt{2} \cdot 0=-1$

Но скалярное произведение еще равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Пусть $\alpha -$ угол между векторами $\vec {BA}$ и $\vec{DC}$

$\vec{BA}\cdot \vec{DC}= |\vec{BA}|\cdot |\vec{DC}|\cdot cos\alpha ;\\\\cos\alpha =\dfrac{\vec{BA}\cdot \vec{DC}}{|\vec{BA}|\cdot |\vec{DC}|} ;\\\\cos\alpha = \dfrac{-1}{\sqrt{7} \cdot 1} =-\dfrac{1}{\sqrt{7} }$

Тогда угол между векторами будет равен

$\alpha =arccos\left (-\dfrac{1}{\sqrt{7} }\right )$

#SPJ1