Question

вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=4-х^2 и у=12х​

Answer 1

Ответ:

$y=4-x^2\ ,\ \ y=12x$

Точки пересечения.

$4-x^2=12x\ \ ,\ \ x^2+12x-4=0\ \ ,\ \ D/4=6^2+4=40\ \ ,\\\\x_1=-6-\sqrt{40}=-6-2\sqrt{10}\ \ ,\ \ \ \ x_2=-6+2\sqrt{10}}$

$y=4-x^2$  - парабола с ветвями, направленными вниз .

$y=12x$  -  прямая, проходящая через начало координат .

$\displaystyle S=\int\limits_{-6-2\sqrt{10}}^{-6+2\sqrt{10}}\, (\, (4-x^2)-12x\, )\, dx=\int\limits_{-6-2\sqrt{10}}^{-6+2\sqrt{10}}\, (\, 4-x^2-12x\, )\, dx=\\\\\\=\Big(4x-\frac{x^3}{3}-6x^2\Big)\, \Big|_{-6-2\sqrt{10}}^{-6+2\sqrt{10}}=\\\\\\=4(-6+2\sqrt{10})-\frac{(-6+2\sqrt{10})^3}{3}-6(-6+2\sqrt{10})^2-\\\\-4(-6-2\sqrt{10})+\frac{(-6-2\sqrt{10})^3}{3}+6(-6-2\sqrt{10})^2=\\\\\\=8\sqrt{10}-\frac{1}{3}\, (\sqrt{40}-6)^3-6(\sqrt{40}-6)^2+8\sqrt{10}-\frac{1}{3}\, (\sqrt{40}+6)^3+6(\sqrt{40}+6)^2=$

$=16\sqrt{10}-\dfrac{1}{3}\, (40\sqrt{40}-3\cdot 40\cdot 6+3\sqrt{40}\cdot 36-216)-6(76-12\sqrt{40})+\\\\+\dfrac{1}{3}\, (40\sqrt{40}+3\cdot 40\cdot 6+3\sqrt{40}\cdot 36+216)+6(76+12\sqrt{40})=\\\\=16\sqrt{10}+\dfrac{2}{3}\cdot 720+\dfrac{2}{3}\cdot 216+144\sqrt{40}=\dfrac{2}{3}\Big(720+216\Big)+(16+288)\cdot \sqrt{10}=\\\\=624+304\cdot \sqrt{10}$