Question

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле ​

Answer 1

Ответ:

Изменить порядок интегрирования    $\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt{12+4x-x^2}}^{{-3+\sqrt{12+4x-x^2}}}f(x,y)\, dy$   .

Область проецируется на ось ОХ в отрезок  [-2 ; 6 ] .

Если начертить луч, параллельный оси ОУ, то точка входа в область лежит на кривой, уравнение которой имеет вид

 $y=-3-\sqrt{12+4x-x^2}$  . Точка  выхода из области лежит на кривой, уравнение которой имеет вид   

$y=-3+\sqrt{12+4x-x^2}$  .  Это нижняя и верхняя полуокружности от

окружности    $(x-2)^2+(y+3)^2=16$  .  Действительно,

$y=-3+\sqrt{12+4x-x^2}\ \ \Rightarrow \ \ \ y+3=\sqrt{12+4x-x^2}\ \ ,\\\\(y+3)^2=12+4x-x^2\ \ ,\ \ (y+3)^2=-(x^2-4x-12)\ \ ,\\\\(y+3)^2=-\Big(\, (x-2)^2-4-12\Big)\ \ ,\ \ \ (y+3)^2=-(x-2)^2+16\ \ \Rightarrow \\\\(x-2)^2+(y+3)^2=4^2$

Это окружность с центром в точке (2;-3) и радиуса  R=4 .

Выразим из уравнения окружности переменную  х .

$(x-2)^2=16-(y+3)^2\ \ ,\ \ \ (x-2)^2=16-y^2-6y-9\ \ ,\\\\(x-2)^2=-y^2-6y+7\ \ ,\ \ x-2=\pm \sqrt{7-6y-y^2}\ \ ,\\\\x=2\pm \sqrt{7-6y-y^2}$

Последнее равенство - это правая (если знак +) и левая (если знак минус )  полуокружности от окружности  $(x-2)^2+(y+3)^2=16$  .

Окружность проецируется на ось ОУ в отрезок  [-7; 1 ] .

$\displaystyle \int\limits_{-2}^6\, dx\int\limits_{-3-\sqrt{12+4x-x^2}}^{{-3+\sqrt{12+4x-x^2}}}f(x,y)\, dy=\int\limits_{-7}^1\, dy\int\limits_{2-\sqrt{7-6y-y^2}}^{2+\sqrt{7-6y-y^2}}f(x,y)\, dx$