Question

Исследовать функцию и построить ее график.$y=\frac{x+1}{x^2}$

Помогите пожалуйста, нужно срочно(

Answer 1

Ответ:

1. ОДЗ: х ≠ 0

2. функция не является четной или нечетной.

3. ось Оу не пересекает; у = 0; х = -1.

4. x = 0 - вертикальная асимптота;

y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Функция возрастает на промежутке [-2; 0);

убывает на промежутках: (-∞; -2]; (0; +∞).

х min = -2.

6. Функция выпукла на промежутке (-∞; -3];

Функция вогнута на промежутках: [-3; 0); (0; +∞)

х перегиба = -3

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить ее график.

$\displaystyle y=\frac{x+1}{x^2}$

1. ОДЗ: х ≠ 0

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2} =\frac{-x+1}{x^2}$

f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями координат.

1) х ≠ 0 ⇒ ось Оу не пересекает.

2) у = 0; х + 1 = 0;

х = -1

4. Асимптоты.

$\displaystyle1)\; \lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x^2} = \infty$

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота: у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^3} =0$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x^2} -0\cdot{x}=0$

⇒ y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

$\displaystyle y'=\frac{1\cdot{x^2}-(x+1)\cdot2x}{x^4}=\\ \\=\frac{x^2-2x^2-2x}{x^4}=-\frac{x^2+2x}{x^4}=-\frac{x(x+2)}{x^4}=\\ \\ =-\frac{x+2}{x^3}$

Приравняем ее к нулю.

х = -2; х ≠ 0

Отметим точки на числовой оси и определим знак производной на промежутках.

$---[-2]+++(0)---$

• Если производная отрицательна, функция убывает, если положительна - возрастает.

⇒ Функция возрастает на промежутке [-2; 0);

убывает на промежутках: (-∞; -2]; (0; +∞).

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ х min = -2

$\displaystyle y(-2)=\frac{-1}{4}$

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка:

$\displaystyle y''=-\frac{1\cdot{x^3}-(x+2)\cdot3x^2}{x^6} =\\\\=-\frac{x^3-3x^3-6x^2}{x^6} =-\frac{-2x^3-6x^2}{x^6} =\\\\=-\frac{-2x^2(x+3)}{x^6}=\frac{2(x+3)}{x^4}$

Приравняем вторую производную к нулю.

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

$\displaystyle \frac{x+3}{x^4} =0\\\\x=-3;\;\;\;\;\;x\neq 0$

$---[-3]+++(0)+++$

Функция выпукла на промежутке (-∞; -3];

Функция вогнута на промежутках: [-3; 0); (0; +∞)

х перегиба = -3

$\displaystyle y(-3) = \frac{-2}{9}$

Строим график.

#SPJ1