Question

Увага 100 балів.
Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи заміну змінної.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) введем новую переменную

eˣ-1=y ;  eˣ=y+1; d(eˣ)=d(y+1) ; eˣdx=dy; dx=dy/eˣ=dy/(y+1)

сначала вычислим неопределенный интеграл

∫dx/(eˣ-1)=∫dy/(y(y+1))

' 1/(y(y+1))=(1/y)-(1/(y+1))

=∫[(1/y)-(1/(y+1))]dy=∫dy/y  - ∫dy/(y+1)=lnIyI-lnIy+1I+c=lnIeˣ-1I+lneˣ  +c

теперь вычислим определенный интеграл

2ln2                        2ln2

∫dx/(eˣ-1)=(lnIeˣ-1I+lneˣ)= (lnIe^(2ln2)-1I+lne^2ln2)-(lnIe^(ln2)-1I+lne^ln2)=

ln2                             ln2

=ln(4-1)+ln4-(ln(2-1)+ln2))=ln3+ln4-ln2=ln3+2ln2-ln2=ln3+ln2=ln6

2) ∫dx/(x²+4x+5)=∫dx/(x²+4x+4+1)=∫dx/((x+2)²+1)=

введем новую переменную

x+2=y ; dx=dy

∫dx/(x²+4x+5)=∫dy/(y²+1)=arctgy+c=arctg(x+2)+c

₁

∫dx/(x²+4x+5)=arctg(1+2)-arctg(2)=arctg(3)-arctg(2)

⁸