Question

-
-
5. В трёх урнах содержится по 20 белых
шаров, в четырёх - по 16 белых и 4 чёрных
шара, в двух половина белых из 20, а в
одной четверть белых из 20. Человек
наугад выбирает урну и вытягивает из неё
наугад три шара без возвращения. Среди
них оказалось ровно 2 белых шара. Какова
вероятность, что в этой урне было 16 белых
и 4 чёрных шара?

Answer 1

По условию, имеются следующие урны:

$k_1=3$ урны с 20 белыми шарами;

$k_2=4$ урны с 16 белыми и 4 черными шарами;

$k_3=2$ урны, в которых половина белых шаров из 20, то есть с 20:2=10 белыми и 20-10=10 черными шарами;

$k_4=1$ урна, в которой четверть белых шаров из 20, то есть с 20:4=5 белыми и 20-5=15 черными шарами.

Обозначим события:

$A_i$ - выбрана урна i-ого типа

$B$ - из урны вытянуты 2 белых и 1 черный шар

Тогда, вероятности выбора урны каждого типа соответственно равны:

$P(A_1)=\dfrac{k_1}{k_1+k_2+k_3+k_4} =\dfrac{3}{3+4+2+1} =\dfrac{3}{10}$

$P(A_2)=\dfrac{k_2}{k_1+k_2+k_3+k_4} =\dfrac{4}{10}$

$P(A_3)=\dfrac{k_2}{k_1+k_2+k_3+k_4} =\dfrac{2}{10}$

$P(A_4)=\dfrac{k_2}{k_1+k_2+k_3+k_4} =\dfrac{1}{10}$

Найдем вероятности вытащить из урны каждого типа 3 шара так, чтобы 2 из них были белыми, а третий, соответственно, черным.

Для урны первого типа такая вероятность равна 0, так как эти урны не содержат черных шаров:

$P(B|A_1)=0$

Для урны второго типа получим, что число благоприятных исходов определяется возможностью выбрать 2 белых шара из 16 имеющихся в урне, а 1 черный шар - из 4 имеющихся в урне. Общее число исходов - выбрать некоторые 3 шара из 20 имеющихся в урне:

$P(B|A_2)=\dfrac{C_{16}^2\cdot C_4^1}{C_{20}^3}$

Аналогично получим:

$P(B|A_3)=\dfrac{C_{10}^2\cdot C_{10}^1}{C_{20}^3}$

$P(B|A_4)=\dfrac{C_5^2\cdot C_{15}^1}{C_{20}^3}$

Для нахождения требуемой вероятности воспользуемся формулой Байеса:

$P(A_2|B)=\dfrac{P(B|A_2)\cdot P(A_2)}{P(B)}$

$P(A_2|B)=\dfrac{P(B|A_2)\cdot P(A_2)}{\sum\limits_{i=1}^4 \left(P(B|A_i)\cdot P(A_i)\right)}$

$P(A_2|B)=\dfrac{\dfrac{C_{16}^2\cdot C_4^1}{C_{20}^3}\cdot \dfrac{4}{10} }{ 0\cdot \dfrac{3}{10} + \dfrac{C_{16}^2\cdot C_4^1}{C_{20}^3}\cdot \dfrac{4}{10} + \dfrac{C_{10}^2\cdot C_{10}^1}{C_{20}^3}\cdot \dfrac{2}{10} + \dfrac{C_5^2\cdot C_{15}^1}{C_{20}^3}\cdot \dfrac{1}{10} }$

$P(A_2|B)=\dfrac{C_{16}^2\cdot C_4^1\cdot 4 }{ C_{16}^2\cdot C_4^1\cdot 4 + C_{10}^2\cdot C_{10}^1\cdot 2 + C_5^2\cdot C_{15}^1\cdot 1 }$

$P(A_2|B)=\dfrac{\dfrac{16\cdot15}{2} \cdot4\cdot 4 }{ \dfrac{16\cdot15}{2} \cdot4\cdot 4 + \dfrac{10\cdot9}{2} \cdot10\cdot 2 + \dfrac{5\cdot4}{2} \cdot 15 }$

$P(A_2|B)=\dfrac{16\cdot15\cdot16 }{ 16\cdot15\cdot16 + 10\cdot9 \cdot20 + 5\cdot4 \cdot 15 }$

$P(A_2|B)=\dfrac{16\cdot16 }{ 16\cdot16 + 2\cdot3 \cdot20 + 5\cdot4 }$

$P(A_2|B)=\dfrac{4\cdot16 }{ 4\cdot16 + 2\cdot3 \cdot5 + 5}$

$P(A_2|B)=\dfrac{64 }{ 64 + 30 + 5}$

$P(A_2|B)=\dfrac{64 }{ 99}$

Ответ: 64/99