Question

Доказать,что (n+1)^m при делений на n даст в остатке 1 ,при любой степени m ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\frac{(n + 1) {}^{m} }{n} = \frac{1}{n} + k$

1. Докажем, что это верно для m=1:

$\frac{(n + 1) {}^{1} }{n} = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

Верно.

При m=2:

$\frac{(n + 1) {}^{2} }{n} = \frac{n {}^{2} + 1 {}^{2} + 2n }{n} = n + 2+ \frac{1}{n}$

тоже верно.

При m=3:

$\frac{(n + 1) {}^{3} }{n} = \frac{n {}^{3} + 3n {}^{2} + 3n + 1 {}^{3} }{n} = n {}^{2} + 3n+3 + \frac{1}{n}$

Для общего вида (n+1)^m при любом m каждый член будет иметь множитель n, кроме члена +1, а значит, что при делении на n, множитель n сократится, а 1/n останется.

Это и есть остаток.

Можно использовать Бином Ньютона для доказательства, тогда пишем, что последним слогаемым будет +b^m, что у нас означает 1^m - то есть 1.