Question

пж помогите решить уравнения

Answer 1

Решить уравнения: а) 2sin^2(2x)-5sin(2x)+2=0; б) √(7-х)=5-х.

Ответ:

$\Large \boldsymbol {}a)\ \left [ \begin{array}{ccc} x=\frac{\pi}{12} +\pi n, n\in \mathbb Z\ \\\\ x=\frac{5\pi }{12} +\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right\\\\\\b)\ x_1=3\ \text{and}\ x_2=6.$

Объяснение:

$\Large \boldsymbol {}a)\ 2\sin^2(2x)-5\sin(2x)+2=0$

Вводим замену sin(2x)=t, t ∈ [-1;1].

$\Large \boldsymbol {} 2t^2-5t+2=0\\\\D=b^2-4ac=(-5)^2-4*2*2=25-15=9\\\\t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} \\\\t_1=\frac{5+\sqrt{9} }{2*2} =\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4} =2\ \notin \ [-1;1]\\\\t_2=\frac{5-\sqrt{9} }{2*2} =\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4} =\frac{1}{2} \ \in \ [-1;1]$

Возвращаемся к замене:

$\Large \boldsymbol {} \sin 2x=\frac{1}{2}\\\\\left [ \begin{array}{ccc} 2x=\arcsin \frac{1}{2} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ 2x=\pi-\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\\\\\Longleftrightarrow$

$\Large \boldsymbol {} \left [ \begin{array}{ccc} 2x=\frac{\pi}{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z\ \\\\ 2x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right\Longleftrightarrow \boxed{\left [ \begin{array}{ccc} x=\frac{\pi}{12} +\pi n, n\in \mathbb Z\ \\\\ x=\frac{5\pi }{12} +\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right}\\\\\\-----------------------$

$\Large \boldsymbol {} b)\ \sqrt{7-x} =5-x\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:ODZ: 7-x\geq 0\\\\(\sqrt{7-x})^2 =(5-x)^2\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:-x\geq -7\\\\7-x=5^2-10x+x^2\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\leq 7\\\\25-10x+x^2-7+x=0\\\\x^2-9x+18=0\\\\D=b^2-4ac=(-9)^2-4*18*1=81-72=9\\\\x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} \\\\x_1=\frac{9+\sqrt{9} }{2*1}=\frac{9+3}{2}=6\leq 7\\\\ x_2=\frac{9-\sqrt{9} }{2*1}=\frac{9-3}{2}=3\leq 7$