Question

100 баллов. Решить ОДИН интеграл

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2} \ln x} } \, dx$ - Интеграл расходится

Примечание:

Степенной признак:

Пусть $f(x) \sim \dfrac{c}{(b - x)^{p}}$ при $x \to b - 0, c > 0$.

Если $p < 1$, то $\displaystyle \int\limits^a_b {f(x)} \, dx$ сходится, а если $p \geq 1$, то интеграл расходится.

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2} \ln x} } \, dx$ - несобственный интеграл интеграл смешанного типа, так как на нижнем пределе интегрирования функция неопределенна, а на верхнем имеет бесконечность

Сделаем замену переменных в несобственном интеграле:

Пусть $\ln x = t$. Функция $f(t) = t$ - непрерывно дифференцируема и строго монотонна.

$\ln x = t \Longrightarrow x = e^{t}$

$x^{2} = \bigg(e^{t} \bigg)^{2} = e^{2t}$

$dt = (\ln x)' \ dx = \dfrac{dx}{x} \Longrightarrow dx = x \ dt = e^{t} \ dt$ - замена переменных в дифференциале

Новые границы интегрирования:

$t_{1} = \ln 1 = 0$

$\displaystyle t_{2} = \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty$

Таким образом замена переменных возможна и получен интеграл вида:

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_{0} {\frac{e^{t}}{e^{2t} t} } \, dt = \int\limits^{\infty}_{0} {\frac{e^{-t}}{ t} } \, dt$

Рассмотрим интеграл вида $\displaystyle \int\limits^{\infty}_{0} {x^{p - 1}e^{-x} } \, dx$.

Подынтегральная функция имеет 2 особые точки:

$x = 0$

$x = \infty$

Поэтому данный интеграл необходимо разбить на 2 интеграла:

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_{0} {x^{p - 1}e^{-x} } \, dx = \int\limits^{1}_{0} {x^{p - 1}e^{-x} } \, dx + \int\limits^{\infty}_{1} {x^{p - 1}e^{-x} } \, dx$

Рассмотрим интеграл $\displaystyle \int\limits^{1}_{0} {x^{p - 1}e^{-x} } \, dx$ с особой точкой x = 0.

Тогда по степенному признаку, так как $e^{-x}x^{p-1} \sim \dfrac{1}{x^{1 - p}}$ при $x \to 0$, то при условии $1 - p < 1 \Longrightarrow p > 0$ интеграл сходится, а так как в интеграле

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_{0} {\frac{e^{-t}}{ t} } \, dt$ $p =-1$, то данный интеграл расходится, а следовательно расходится интеграл $\displaystyle \int\limits^{\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2} \ln x} } \, dx$.

#SPJ1