Question

Помогите с 19 заданием
Желательно поподробнее решение

Answer 1

Ответ:

Функция возрастает на (-∞ ; - 4 ] и на   [4; +∞) и  функция убывает на [- 4; 4]; точки экстремума $x{_{max}}= -4$  и $x{_{min}}= 4$; экстремумы функции    $y{_{max}}= 42\dfrac{2}{3}$    и $y{_{min }}=-42\dfrac{2}{3}.$

Объяснение:

Найти промежутки монотонности функции, точки экстремума и экстремумы функции.

$y=\dfrac{1}{3} x^{3} -16x$

Областью определения данной функции является множество всех чисел.

D( y) = ( -∞; +∞ ).

Найдем производную данной функции

$y'=\left(\dfrac{1}{3} x^{3} -16x\right )'=\dfrac{1}{3} \cdot3x^{2} -16=x^{2} -16=x^{2} -4^{2} =(x-4)(x+4)$

Найдем критические точки, решив уравнение :

y'=0;

(x-4)(x+4)=0;

x-4 = 0    или     x+4=0

x=4                     x=-4

Точки - 4 и 4 делят числовую прямую на 3 промежутка. Определим знак производной на каждом промежутке ( во вложении)

y'>0 : функция возрастает на (-∞ ; - 4 ] и на   [4; +∞)

y'<0: функция убывает на [- 4; 4]

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "+" на " - ", то данная точка является точкой максимума

$x{_{max}}= -4$

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "-" на "+ ", то данная точка является точкой минимума

$x{_{min}}= 4$

Найдем значение функции в полученных точках экстремума  и найдем экстремумы функции $y{_{max}}= y(-4) = \dfrac{1}{3} \cdot(-4)^{3} -16\cdot(-4)= \dfrac{1}{3} \cdot(-64)+64 =-\dfrac{64}{3} +64=-21\dfrac{1}{3} +64=\\\\=63\dfrac{3}{3} -21\dfrac{1}{3}=42\dfrac{2}{3}$

$y{_{min }}= y(4) = \dfrac{1}{3} \cdot4^{3} -16\cdot4= \dfrac{1}{3} \cdot64-64 =\dfrac{64}{3} -64=21\dfrac{1}{3} -64=\\\\=-63\dfrac{3}{3} +21\dfrac{1}{3}=-42\dfrac{2}{3}$

#SPJ1